Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 13

Cách 1:
Lấy điểm $ C'\in AC,D'\in AD $ sao cho$ AB=AC'=AD'=a. $
Lấy điểm $ M\in C'D' $ sao cho $ MC'=MD'\Rightarrow AM⊥C'D' $ ($ \Delta AC'D' $ vuông cân tại $ A $) (1)
Do $ \Delta AC'D' $ vuông cân tại $ A $$ \Rightarrow C'D'=a\sqrt[] { 2 }\Rightarrow AM=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }. $
Xét $ \Delta BAD'\Rightarrow (BD')^2 =(AB)^2 +(AD')^2 -2AB.AD'.c{ \rm{ o } }{ \rm{ s } } \widehat { BAD' }=a ^ { 2 } +a ^ { 2 } -2.a.a.c{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ 0 } } ^ { 0 } =3a ^ { 2 } $
$ \Rightarrow BD'=a\sqrt[] { 3 }. $
Xét $ \Delta ABC' $ có $ \widehat { BAC' }=60 ^ { 0 } \Rightarrow AB=AC'=BC'=a. $
$ \left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { a\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } +a ^ { 2 } \Leftrightarrow (BD')^2 =C'(D')^2 +(BC')^2 \Rightarrow \Delta C'BD' $ vuông tại $ C' $.
Trong $ mp\left ( { BC'D' } \right ), $Từ $ M $ kẻ $ MI\parallel C'B,I\in BD'\Rightarrow MI⊥C'D' $ ($ \Delta C'BD' $ vuông tại $ C' $) (2)
$ \Rightarrow $ I là trung điểm đoạn $ BD'\Rightarrow MI=\frac { 1 } { 2 }BC'=\frac { a } { 2 }. $
Xét $ \Delta BAD'\Rightarrow (AI)^2 =\frac { (AB)^2 +(AD')^2 } { 2 }-\frac { (BD')^2 } { 4 }=\frac { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } } { 2 }-\frac { \left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } } { 4 }=\frac { a ^ { 2 } } { 4 }\Rightarrow AI=\frac { a } { 2 }. $
Xét $ \Delta AMI\Rightarrow c{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }\left ( { \widehat { AMI } } \right )=\frac { (AM)^2 +(MI)^2 -(AI)^2 } { 2AM.MI }=\frac { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { \frac { a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } { 2.\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }.\frac { a } { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }\Rightarrow \widehat { AMI }=45 ^ { 0 } . $
Từ (1), (2) suy ra $ C'D'⊥\left ( { AMI } \right ). $ Kẻ $ AH⊥\left ( { BC'D' } \right )\Rightarrow AH⊂\left ( { AMI } \right )\Rightarrow H\in MI. $
Xét $ \Delta HAM $ vuông tại $ H\Rightarrow AH={ \rm{ A } }{ \rm{ M } }sin \widehat { AMI }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 }sin45 ^ { 0 } =\frac { a } { 2 }. $
$ \Rightarrow V_{ ABC'D' } =\frac { 1 } { 3 }AH.S_{ \Delta BC'D' } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }a.a\sqrt[] { 2 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 12 }. $
mà $ \frac { V_{ ABC'D' } } { V_{ ABCD } }=\frac { AC' } { AC }.\frac { AD' } { AD }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 3 }=\frac { 1 } { 6 }\Rightarrow V_{ ABCD } =6V_{ ABC'D' } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 2 } $
Cách 2:
Ta có: Thể tích khối tứ diện $ ABCD $ là
$ V_{ ABCD } =\frac { 1 } { 6 }AB.AC.AD\sqrt[] { 1+2cos \widehat { BAC }cos \widehat { CAD }cos \widehat { DAB }-\left ( { cos \widehat { BAC } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { cos \widehat { CAD } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { cos \widehat { DAB } } \right ) ^ { 2 } } $$ =\frac { 1 } { 6 }a.2a.3a\sqrt[] { 1+2cos60 ^ { 0 } cos90 ^ { 0 } cos120 ^ { 0 } -\left ( { cos60 ^ { 0 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { cos90 ^ { 0 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { cos120 ^ { 0 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 2 }. $
Kết luận: $ V_{ ABCD } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 2 }. $