Cho hình chóp tứ giác $ SABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông, tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ CD $. Biết khoảng cách từ $ A $ đến $ \left ( { SBM } \right ) $ là $ 2a\sqrt[] { \frac { 3 } { 19 } } $. Thể tích khối chóp $ SABCD $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $ $ \Rightarrow SH⊥AB\Rightarrow SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $ ( Vì tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy).
Ta có: $ AB=2HB\Rightarrow d\left ( { A,\left ( { SBM } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { SBM } \right ) } \right ). $
Từ $ H $ kẻ $ HK⊥BM\Rightarrow BM⊥(SHK)\Rightarrow \left ( { SHK } \right )⊥\left ( { SBM } \right ) $mà $ \left ( { SHK } \right )∩\left ( { SBM } \right )=SK $
$ HP⊥SK\Rightarrow HP⊥\left ( { SBM } \right )\Rightarrow d\left ( { H,\left ( { SBM } \right ) } \right )=HP\Rightarrow HP=a\sqrt[] { \frac { 3 } { 19 } }. $
Giả sử hình vuông $ ABCD $ có độ dài cạnh là $ x $ $ \left ( { x>0 } \right ) $.
$ \Rightarrow \Delta SAB $ đều cạnh $ x\Rightarrow SH=\frac { x\sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
$ BM=\sqrt[] { (BC)^2 +(CM)^2 }=\frac { x\sqrt[] { 5 } } { 2 }. $
Trong $ \Delta BHM $ vuông tại $ H $ có $ HK.BM=HB.HM\Rightarrow HK=\frac { HB.HM } { MB }=\frac { x\sqrt[] { 5 } } { 5 }. $
Trong $ \Delta SHK $ có $ \frac { 1 } { (HP)^2 }=\frac { 1 } { (HS)^2 }+\frac { 1 } { (HK)^2 } $ $ \Rightarrow x=a. $
Vậy $ V_{ SABCD } =\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ ABCD } =\frac { \sqrt[] { 3 }x ^ { 3 } } { 6 }=\frac { \sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 6 }. $
