Bài tập nâng cao · Bài 15
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 15
Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có tất cả các cạnh đều bằng $ a $, tâm của đáy là $ O $. Gọi $ M\,,\,N $ tương ứng là trung điểm các cạnh $ SA\,,\,SC $. Gọi $ E $ là giao điểm của $ SD $ và mặt phẳng $ \left ( { BMN } \right ) $. Tính thể tích $ V $ của khối chóp $ O.BMEN $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ K=MN∩SO $, khi đó $ BK $ cắt $ SD $ tại $ E $. Kẻ $ OO'\,//\,BE $.
Do $ MN $ là đường trung bình của $ \Delta SAC $ nên $ K $ là trung điểm của $ SO $.
Suy ra $ V_{ O.BMEN } =V_{ S.BMEN } $.
Ta có: $ \frac { V_{ S.BME } } { V_{ S.BAD } }=\frac { SM } { SA }.\frac { SE } { SD }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { SE } { SD } $ và $ \frac { V_{ S.BNE } } { V_{ S.BCD } }=\frac { SN } { SC }.\frac { SE } { SD }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { SE } { SD } $.
Suy ra $ V_{ S.BMEN } =V_{ S.BME } +V_{ S.BNE } =\frac { 1 } { 2 }.\frac { SE } { SD }.V_{ S.ABCD } $.
Vì $ OO'\,//\,BE\Rightarrow O' $ là trung điểm của $ ED $.
Mặt khác: $ KE\,//\,OO' $$ \Rightarrow E $ là trung điểm của $ SO' $.
Do đó $ SE=EO'=O'D $$ \Rightarrow \frac { SE } { SD }=\frac { 1 } { 3 } $.
Suy ra $ V_{ S.BMEN } =\frac { 1 } { 6 }V_{ S.ABCD } $
Ta có: $ S_{ ABCD } =a ^ { 2 } $.
Xét $ \Delta SOA $ vuông tại $ O $ có: $ SO=\sqrt[] { (SA)^2 -(OA)^2 }=\sqrt[] { (SA)^2 -\left ( { \frac { BD } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\left ( { \frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 } $.
Do đó: $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }S_{ ABCD } .SO=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 6 } $.
Vậy $ V_{ S.BMEN } =\frac { 1 } { 6 }.\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 6 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 } } { 36 } $.