Bài tập nâng cao · Bài 16
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 16
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi cạnh $ a, \widehat { BAD }=60° $ và $ SA=SB=SD $. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hình chóp $ S.ABD $ có bán kính bằng $ \frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $ và $ SA>a $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $
Xem lời giải
Lời giải
Vì $ ABCD $ là hình thoi cạnh $ a, \widehat { BAD }=60° $ nên $ ABD $ là tam giác đều cạnh $ a $
Gọi $ H $ là tâm của tam giác $ ABD $
Theo giả thiết có $ SA=SB=SD $ nên hình chóp $ S.ABD $ là đều và $ SH⊥\left ( { ABD } \right ) $
Dựng mặt phẳng trung trực của đoạn $ SA $ cắt $ SA $ tại $ M $, cắt $ SH $ tại $ I $
Vì $ I $ nằm trên $ SH $ nên $ IA=IB=ID $, $ I $ nằm trên mặt phẳng trung trực của $ SA $ nên $ SI=IA $. Suy ra $ I $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ SABD $ với bán kính là $ SI=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $
Đặt $ SA=x,\left ( { x>a>0 } \right ) $
Xét tam giác vuông $ SAH $ có $ (SA)^2 =(SH)^2 +(HA)^2 \Leftrightarrow SH=\sqrt[] { (SA)^2 -(HA)^2 }=\sqrt[] { x ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 3 } } $
Ta có tam giác $ SMI $ đồng dạng với tam giác $ SHA $
$ \Rightarrow \frac { SM } { SH }=\frac { SI } { SA }\Leftrightarrow SA.SM=SH.SI\Leftrightarrow x.\frac { x } { 2 }=\sqrt[] { x ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 3 } }.\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $
$ \Leftrightarrow 5x ^ { 4 } -12a ^ { 2 } x ^ { 2 } +4a ^ { 4 } =0\Leftrightarrow \left[ x ^ { 2 } =2a ^ { 2 } \\ x ^ { 2 } =\frac { 2a ^ { 2 } } { 5 } \right.\Leftrightarrow \left[ x=a\sqrt[] { 2 } \\ x=\frac { a\sqrt[] { 10 } } { 5 } \right. $
Vì $ SA>a $ nên $ SA=a\sqrt[] { 2 }\Rightarrow SH=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { \sqrt[] { 3 } } $
Thể tích khối chóp: $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 5 } } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 5 } } { 6 } $
Gọi $ H $ là tâm của tam giác $ ABD $
Theo giả thiết có $ SA=SB=SD $ nên hình chóp $ S.ABD $ là đều và $ SH⊥\left ( { ABD } \right ) $
Dựng mặt phẳng trung trực của đoạn $ SA $ cắt $ SA $ tại $ M $, cắt $ SH $ tại $ I $
Vì $ I $ nằm trên $ SH $ nên $ IA=IB=ID $, $ I $ nằm trên mặt phẳng trung trực của $ SA $ nên $ SI=IA $. Suy ra $ I $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ SABD $ với bán kính là $ SI=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $
Đặt $ SA=x,\left ( { x>a>0 } \right ) $
Xét tam giác vuông $ SAH $ có $ (SA)^2 =(SH)^2 +(HA)^2 \Leftrightarrow SH=\sqrt[] { (SA)^2 -(HA)^2 }=\sqrt[] { x ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 3 } } $
Ta có tam giác $ SMI $ đồng dạng với tam giác $ SHA $
$ \Rightarrow \frac { SM } { SH }=\frac { SI } { SA }\Leftrightarrow SA.SM=SH.SI\Leftrightarrow x.\frac { x } { 2 }=\sqrt[] { x ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 3 } }.\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $
$ \Leftrightarrow 5x ^ { 4 } -12a ^ { 2 } x ^ { 2 } +4a ^ { 4 } =0\Leftrightarrow \left[ x ^ { 2 } =2a ^ { 2 } \\ x ^ { 2 } =\frac { 2a ^ { 2 } } { 5 } \right.\Leftrightarrow \left[ x=a\sqrt[] { 2 } \\ x=\frac { a\sqrt[] { 10 } } { 5 } \right. $
Vì $ SA>a $ nên $ SA=a\sqrt[] { 2 }\Rightarrow SH=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { \sqrt[] { 3 } } $
Thể tích khối chóp: $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 5 } } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 5 } } { 6 } $