Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 17

Dựng $ SH⊥AB $
Vì $ \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { ABCD } \right ) $ và $ SH⊥AB $ nên $ SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $
Dựng $ HI⊥BM $, $ HK⊥SI $
Khi đó $ \left \{ \begin{array}{l} BM⊥HI \\ BM⊥SH \end{array} \right.\Rightarrow BM⊥\left ( { SHI } \right )\Rightarrow BM⊥HK $
Có $ \left \{ \begin{array}{l} HK⊥BM \\ HK⊥SI \end{array} \right.\Rightarrow HK⊥\left ( { SBM } \right )\Rightarrow HK=d\left ( { H,(SBM) } \right ) $
Ta lại có $ HK=d\left ( { H,(SBM) } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { A,(SBM) } \right )=\frac { 1 } { 2 }.2a\sqrt[] { \frac { 3 } { 19 } }=a\sqrt[] { \frac { 3 } { 19 } } $
Đặt cạnh $ AB=x $
Gọi $ Q $ là trung điểm của $ BC $, suy ra $ AQ⊥BM $ tại $ P $
Trong tam giác vuông $ ABQ $ có $ (AB)^2 =AP.AQ\Leftrightarrow x ^ { 2 } =AP.\sqrt[] { x ^ { 2 } +\frac { x ^ { 2 } } { 4 } }\Leftrightarrow AP=\frac { 2x\sqrt[] { 5 } } { 5 } $
Suy ra $ HI=\frac { 1 } { 2 }AP=\frac { x\sqrt[] { 5 } } { 5 } $
Vì tam giác $ SAB $ đều cạnh $ x $ nên $ SH=\frac { x\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
Xét tam giác vuông $ SHI $ có $ \frac { 1 } { (HK)^2 }=\frac { 1 } { (SH)^2 }+\frac { 1 } { (HI)^2 }\Leftrightarrow \frac { 19 } { 3a ^ { 2 } }=\frac { 4 } { 3x ^ { 2 } }+\frac { 5 } { x ^ { 2 } }=\frac { 19 } { 3x ^ { 2 } }\Leftrightarrow x=a $
Khi đó diện tích đáy $ ABCD $ là: $ S_{ ABCD } =a ^ { 2 } $
Đường cao $ SH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
Thể tích khối chóp $ S.ABCD $ là: $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABCD } .SH=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } $.