Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 18

Ta có $ ABCD $ là nửa lục giác đều và có $ \widehat { ADB }=90° $.
Gọi $ H $ là hình chiếu của $ S $ trên $ \left ( { ABCD } \right ) $, ta có $ AH⊥AD $, $ BH⊥BD $ nên $ AHBD $ là hình chữ nhật.
Gọi $ X $, $ Y $ lần lượt là hình chiếu của $ B $ trên $ \left ( { SAD } \right ) $ và $ SD $. Khi đó ta có $ \alpha = \widehat { BYX } $.
Suy ra: $ sin\alpha =\frac { BX } { BY }=\frac { d\left ( { B;\left ( { SAD } \right ) } \right ) } { d\left ( { B;SD } \right ) }=\frac { d\left ( { H;\left ( { SAD } \right ) } \right ) } { d\left ( { B;SD } \right ) }=\frac { HE } { HY } $
$ \Rightarrow \frac { 2 } { \sqrt[] { 5 } }=\frac { HE } { HY }=\frac { \frac { SH.HA } { SA } } { \frac { SB.BD } { SD } }=\frac { SH.SD } { SA.SB } $
Đặt $ SH=x $$ \Rightarrow SD=\sqrt[] { x ^ { 2 } +4a ^ { 2 } } $; $ SB=\sqrt[] { x ^ { 2 } +a ^ { 2 } } $; $ SA=\sqrt[] { x ^ { 2 } +3a ^ { 2 } } $.
Khi đó ta có: $ \frac { 2 } { \sqrt[] { 5 } }=\frac { x\sqrt[] { x ^ { 2 } +4a ^ { 2 } } } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +3a ^ { 2 } }.\sqrt[] { x ^ { 2 } +a ^ { 2 } } }\Leftrightarrow x=a\sqrt[] { 2 } $
Vậy $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 3 }.\sqrt[] { 2 }a.\frac { 1 } { 2 }.a.\sqrt[] { 3 }a=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 6 } } { 6 } $.