Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ 1 $, biết khoảng cách từ $ A $ đến $ \left ( { SBC } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 } $, từ $ B $ đến $ \left ( { SAC } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 15 } } { 10 } $, từ $ C $ đến $ \left ( { SAB } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 30 } } { 20 } $và hình chiếu vuông góc của $ S $ trên $ \left ( { ABC } \right ) $ nằm trong tam giác $ ABC $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $?

Question

Dạng 1. Thể tích khối chóp Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ 1 $, biết khoảng cách từ $ A $ đến $ \left ( { SBC } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 } $, từ $ B $ đến $ \left ( { SAC } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 15 } } { 10 } $, từ $ C $ đến $ \left ( { SAB } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 30 } } { 20 } $và hình chiếu vuông góc của $ S $ trên $ \left ( { ABC } \right ) $ nằm trong tam giác $ ABC $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 1/image764.png] Gọi $ H $là hình chiếu của $ S $lên $ \left ( { ABC } \right ) $.Gọi $ M;N;P $ lần lượt là hình chiếu của $ H $ lên $ AB;AC;BC $. Ta có: $ V_{ SABC } =\frac { 1 } { 6 }.SP.BC.d\left ( { A;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 6 }.SM.AB.d\left ( { C;\left ( { SAB } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 6 }.SN.AC.d\left ( { B;\left ( { SAC } \right ) } \right ) $ $ \Rightarrow SP.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 }=SM.\frac { \sqrt[] { 30 } } { 20 }=SN.\frac { \sqrt[] { 15 } } { 10 } $$ \Rightarrow \frac { SP } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { SM } { \sqrt[] { 10 } }=\frac { SN } { \sqrt[] { 5 } } $. Đặt $ x=\frac { SP } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { SM } { \sqrt[] { 10 } }=\frac { SN } { \sqrt[] { 5 } } $;$ y=SH $$ \Rightarrow MH=\sqrt[] { 10x ^ { 2 } -y ^ { 2 } };NH=\sqrt[] { 5x ^ { 2 } -y ^ { 2 } };PH=\sqrt[] { 2x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $ $ \frac { d\left ( { H;\left ( { SBC } \right ) } \right ) } { d\left ( { A;\left ( { SBC } \right ) } \right ) }=\frac { PH } { d\left ( { A;BC } \right ) }=\frac { 2\sqrt[] { 2x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } } { \sqrt[] { 3 } }\Rightarrow d\left ( { H;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { \sqrt[] { 2x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } } { \sqrt[] { 2 } } $ Trong tam giác vuông $ SHP $ta có: $ SH.PH=SP.d\left ( { H;\left ( { SBC } \right ) } \right )\Rightarrow y.\sqrt[] { 2x ^ { 2 } -y ^ { 2 } }=x\sqrt[] { 2 }.\frac { \sqrt[] { 2x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } } { \sqrt[] { 2 } }\Rightarrow x=y $. $ \Rightarrow MH=3x;NH=2x;PH=x $.Trong tam giác đều $ ABC $ ta có $ MH+NH+PH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\Rightarrow x=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 12 }\Rightarrow SH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 12 }\Rightarrow V_{ SABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 12 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { 1 } { 48 } $

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 19