Bài tập nâng cao · Bài 20
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 20
Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $là tam giác vuông tại $ B $, $ BC=2a,BA=a\sqrt[] { 3 } $. Biết tam giác $ SAB $ vuông tại $ A $, tam giác $ SBC $ cân tại $ S $, $ (SAB) $ tạo với mặt phẳng $ (SBC) $ một góc $ φ $ thỏa mãn $ sinφ=\sqrt[] { \frac { 20 } { 21 } }. $ Thể tích của khối chóp $ S.ABC $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
+ Gọi $ M $là trung điểm của $ BC $, dựng hình chữ nhật $ ABMH $
Khi đó $ \left \{ \begin{array}{l} AB⊥SH \\ BC⊥SH \end{array} \right.\Rightarrow SH⊥(ABC) $
Kẻ $ HI⊥SA\Rightarrow HI⊥(SAB); $
$ HJ⊥SM\Rightarrow HJ⊥(SBC) $
$ \Rightarrow ((SAB),(SBC))=∠IHJ $.
+ Đặt $ SH=x\Rightarrow HI=\frac { ax } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } };HJ=\frac { a\sqrt[] { 3 }x } { \sqrt[] { 3a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } };SI=\frac { x ^ { 2 } } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } };SJ=\frac { x ^ { 2 } } { \sqrt[] { 3a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } } $.
$ cosASM=\frac { x ^ { 2 } } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +x ^ { 2 } }.\sqrt[] { 3a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } };(IJ)^2 =(SI)^2 +(SJ)^2 -2SI.SJ.cosASM=\frac { 4a ^ { 2 } x ^ { 4 } } { (a ^ { 2 } +x ^ { 2 } )(3a ^ { 2 } +x ^ { 2 } ) } $
$ sinφ=\sqrt[] { \frac { 20 } { 21 } }\Rightarrow cosφ=\sqrt[] { \frac { 1 } { 21 } }. \\ cosφ=\frac { (HI)^2 +(HJ)^2 -(IJ)^2 } { 2HI.HJ } \\ \Leftrightarrow \frac { 2 } { \sqrt[] { 21 } }.\frac { ax } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } }.\frac { a\sqrt[] { 3 }x } { \sqrt[] { 3a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } }=\frac { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } +x ^ { 2 } }+\frac { 3a ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 3a ^ { 2 } +x ^ { 2 } }-\frac { 4a ^ { 2 } x ^ { 4 } } { \left ( { a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } \right )\left ( { 3a ^ { 2 } +x ^ { 2 } } \right ) } \\ \Leftrightarrow \frac { 2 } { \sqrt[] { 7 } }\sqrt[] { a ^ { 2 } +x ^ { 2 } }.\sqrt[] { 3a ^ { 2 } +x ^ { 2 } }=6a ^ { 2 } \Leftrightarrow x=a\sqrt[] { 6 }. \\ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ ABC } =a ^ { 3 } \sqrt[] { 2 }. $