Bài tập nâng cao · Bài 21
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 21
Hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật với $ AB=3,\,BC=4,\,SC=5 $. Tam giác $ SAC $ nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ (ABCD) $. Các mặt $ (SAB) $ và $ (SAC) $ tạo với nhau một góc $ \alpha $ và $ cos\,\alpha =\frac { 3 } { \sqrt[] { 29 } } $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $
Xem lời giải
Lời giải
Kẻ $ SH⊥AC(H\in AC) $ vì $ \vartriangle SAC $nhọn.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} (SAC)∩(ABCD)=AC \\ SH⊥AC \end{array} \right.\Rightarrow SH⊥(ABCD) $.
Kẻ $ MB⊥AC\Rightarrow MB⊥(SAC)\Rightarrow MB⊥SA $, (1).
Ta có $ AC=SC=5 $ nên $ \vartriangle SAC $ cân tại $ C $.
Gọi $ E $ là trung điểm của $ SA $ nên $ SA⊥EC $, kẻ $ MN\,//\,{ \rm{ E } }{ \rm{ C } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ N } }\in { \rm{ S } }{ \rm{ A } }{ \rm{ ) } } $ nên $ SA⊥MN $(2).
Từ (1), (2) suy ra $ SA⊥(MNB)\Rightarrow \overset ⌢ { BNM }=\alpha $.
Ta có $ \frac { 1 } { cos ^ { 2 } \,\alpha }=1+tan ^ { 2 } \,\alpha \Rightarrow tan\,\alpha =\sqrt[] { \frac { 1 } { \left ( { \frac { 3 } { \sqrt[] { 29 } } } \right ) ^ { 2 } }-1 }\,=\frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 3 } $.
Trong $ \Delta ABC:\,MB=\frac { AB.BC } { \sqrt[] { (AB)^2 +(BC)^2 } }=\frac { 12 } { 5 } $, $ AM=\sqrt[] { (AB)^2 -(MB)^2 }=\frac { 9 } { 5 } $.
Trong $ \Delta BMN:\,MN=\frac { MB } { tan\,\alpha }=\frac { 18\sqrt[] { 5 } } { 25 } $.
Trong $ \Delta SAC:\,\frac { AM } { AC }=\frac { MN } { EC }=\frac { \frac { 9 } { 5 } } { 5 }=\frac { 9 } { 25 } $ suy ra $ EC=\frac { 25MN } { 9 }=2\sqrt[] { 5 } $.
Ta có $ SA=2SE=2\sqrt[] { (SC)^2 -(EC)^2 }=2\sqrt[] { 5 } $
Và $ SH.AC=SA.EC\Leftrightarrow SH=\frac { SA.EC } { AC }=\frac { 2\sqrt[] { 5 }.2\sqrt[] { 5 } } { 5 }=4 $.
Vậy thể tích khối chóp là $ V=\frac { 1 } { 3 }.SH.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.4.3.4.=16 $.