Bài tập nâng cao · Bài 22
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 22
Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ \widehat { BAC }=90° $, $ AB=3a $, $ AC=4a $, hình chiếu của đỉnh $ S $ là một điểm $ H $ nằm trong $ \Delta ABC $. Biết khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau của hình chóp là $ d\left ( { SA,BC } \right )=\frac { 6a\sqrt[] { 34 } } { 17 } $, $ d\left ( { SB,CA } \right )=\frac { 12a } { 5 } $, $ d\left ( { SC,AB } \right )=\frac { 12a\sqrt[] { 13 } } { 13 } $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1
$ \Delta ABC $ vuông tại $ A $$ \Rightarrow BC=\sqrt[] { (AB)^2 +(AC)^2 }=\sqrt[] { \left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 4a } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 25a ^ { 2 } }=5a $
Vẽ $ \Delta MNP $ sao cho $ AB $, $ BC $, $ CA $ là các đường trung bình của $ \Delta MNP $$ \Rightarrow ACBN $; $ ABCP $ là các hình bình hành; $ ABMC $ là hình chữ nhật và $ MP=6a $; $ MN=8a $; $ NP=10a $
Ta có: $ BC{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { SNP } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { SA,BC } \right )=d\left ( { BC,\left ( { SNP } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SNP } \right ) } \right ) $
Lại có: $ \frac { d\left ( { B,\left ( { SNP } \right ) } \right ) } { d\left ( { M,\left ( { SNP } \right ) } \right ) }=\frac { BN } { MN }=\frac { 1 } { 2 } $$ \Rightarrow d\left ( { M,\left ( { SNP } \right ) } \right )=2d\left ( { B,\left ( { SNP } \right ) } \right )=2d\left ( { SA,BC } \right )=\frac { 12a\sqrt[] { 34 } } { 17 } $
Tương tự ta tính được:
$ d\left ( { P,\left ( { SMN } \right ) } \right )=2d\left ( { SB,CA } \right )=\frac { 24a } { 5 } $ và $ d\left ( { N,\left ( { SMP } \right ) } \right )=2d\left ( { SC,AB } \right )=\frac { 24a\sqrt[] { 13 } } { 13 } $
Gọi $ D $, $ E $, $ F $ lần lượt là hình chiếu của $ H $ lên $ NP $, $ MP $, $ MN $ và đặt $ h=SH=d\left ( { S,\left ( { MNP } \right ) } \right ) $
Ta có: $ SH⊥NP $ và $ HD⊥NP $$ \Rightarrow NP⊥\left ( { SHD } \right ) $
Chứng minh tương tự: $ HE⊥\left ( { SMP } \right ) $; $ HF⊥\left ( { SMN } \right ) $
Do đó: $ 3V_{ SMNP } =d\left ( { M,\left ( { SNP } \right ) } \right ).\,S_{ SNP } =d\left ( { N,\left ( { SMP } \right ) } \right ).\,S_{ SMP } $
$ =d\left ( { P,\left ( { SMN } \right ) } \right ).\,S_{ SMN } =d\left ( { S,\left ( { MNP } \right ) } \right ).\,S_{ MNP } =h.\,S_{ MNP } $
Mặt khác: $ S_{ SNP } =\frac { 1 } { 2 }SD.\,NP=5a.\,SD $; $ S_{ SMP } =\frac { 1 } { 2 }SE.\,MP=3a.\,SE $;
$ S_{ SMN } =\frac { 1 } { 2 }SF.\,MN=4a.\,SF $; $ S_{ MNP } =\frac { 1 } { 2 }MN.\,MP=24a ^ { 2 } $
$ \Rightarrow \frac { 12a\sqrt[] { 34 } } { 17 }\cdot 5a\cdot SD=\frac { 24a\sqrt[] { 13 } } { 13 }\cdot 3a\cdot SE=\frac { 24a } { 5 }\cdot 4a\cdot SF=24a ^ { 2 } h $
$ \Rightarrow SD=\frac { h\sqrt[] { 34 } } { 5 } $; $ SE=\frac { h\sqrt[] { 13 } } { 3 } $; $ SF=\frac { 5h } { 4 } $
Ta lại có: $ HD=\sqrt[] { (SD)^2 -(SH)^2 }=\sqrt[] { \frac { 34h ^ { 2 } } { 25 }-h ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 9h ^ { 2 } } { 25 } }=\frac { 3h } { 5 } $
$ HE=\sqrt[] { (SE)^2 -(SH)^2 }=\sqrt[] { \frac { 13h ^ { 2 } } { 9 }-h ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 4h ^ { 2 } } { 9 } }=\frac { 2h } { 3 } $
$ HF=\sqrt[] { (SF)^2 -(SH)^2 }=\sqrt[] { \frac { 25h ^ { 2 } } { 16 }-h ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 9h ^ { 2 } } { 16 } }=\frac { 3h } { 4 } $
Mà $ S_{ MNP } =S_{ HNP } +S_{ HMP } +S_{ HMN } =\frac { 1 } { 2 }HD\cdot NP+\frac { 1 } { 2 }HE\cdot MP+\frac { 1 } { 2 }HF\cdot MN $
$ \Rightarrow \frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { 3h } { 5 }\cdot 10a+\frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { 2h } { 3 }\cdot 6a+\frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { 3h } { 4 }\cdot 8a=24a ^ { 2 } $$ \Rightarrow 8ah=24a ^ { 2 } $$ \Rightarrow h=3a $
Vậy thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }h\cdot S_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }\cdot 3a\cdot \frac { 1 } { 2 }\cdot 3a\cdot 4a=6a ^ { 3 } $.
Cách 2
Từ $ B $ và $ C $ lần lượt kẻ các đường thẳng song song với $ AC $ và $ BD $ cắt nhau tại $ D $, ta có hình chữ nhật $ ABCD $.
Từ $ H $ kẻ đường thẳng song song với $ AC $ cắt $ AB $ và $ CD $ lần lượt tại $ E $ và $ E_{ 1 } $.
Từ $ H $ kẻ đường thẳng song song với $ AB $ cắt $ AC $ và $ BD $ lần lượt tại $ F $ và $ F_{ 1 } $.
Từ $ A $ kẻ đường thẳng $ \Delta $ song song với $ BD $, đường thẳng qua $ H $ vuông góc với $ \Delta $ cắt $ \Delta $ tại $ J $.
Gọi $ \left ( { \alpha } \right )=\left ( { SA;\Delta } \right ) $.
Đặt $ AE=x $, $ AF=y $. Ta có $ tan \widehat { FAH }=\frac { x } { y } $.
Kéo dài $ AH $ cắt $ BC $ tại $ I $, từ $ I $ kẻ đường thẳng vuông góc với $ AC $ tại $ K $. Ta có:
$ \left \{ \begin{array}{l} \frac { KI } { AK }=\frac { x } { y }\Leftrightarrow AK=\frac { y } { x }KI \\ \frac { KI } { KC }=\frac { AB } { AC }=\frac { 3 } { 4 }\Leftrightarrow KC=\frac { 4 } { 3 }KI \end{array} \right.\Rightarrow AC=AK+KC=\frac { y } { x }KI+\frac { 4 } { 3 }KI\Leftrightarrow 4a=\frac { 4x+3y } { 3x }KI $
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} AK=\frac { 12ay } { 3y+4x } \\ KI=\frac { 12ax } { 3y+4x } \end{array} \right.\Rightarrow AI=\frac { 12a\sqrt[] { x ^ { 2 } +y ^ { 2 } } } { 3y+4x }\Rightarrow \frac { AI } { AH }=\frac { 12a } { 3y+4x } $
Gọi $ H_{ 1 } $ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $ A $ của tam giác $ ABC $, suy ra $ AH_{ 1 } =\frac { 12a } { 5 } $.
Hai tam giác $ HAJ $ và $ AH_{ 1 } I $ đồng dạng nên: $ \frac { JH } { AH_{ 1 } }=\frac { AH } { AI }=\frac { 3y+4x } { 12a }\Rightarrow JH=\frac { 3y+4x } { 5 } $.
$ d\left ( { H;\alpha } \right )=\frac { HJ.SH } { \sqrt[] { (HJ)^2 +(SH)^2 } }=\frac { \left ( { 3y+4x } \right )z } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } } $
$ d\left ( { BC;SA } \right )=d\left ( { BC;\left ( { \alpha } \right ) } \right )=d\left ( { I;\left ( { \alpha } \right ) } \right )=\frac { IA } { HA }d\left ( { H;\left ( { \alpha } \right ) } \right ) $
$ =\frac { 12a } { 3y+4x }.\frac { \left ( { 3y+4x } \right )z } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } }=\frac { 12az } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } } $
$ d\left ( { AB;SC } \right )=d\left ( { AB;\left ( { SCE_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { AC } { HE_{ 1 } }d\left ( { H;\left ( { SCE_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { 4a } { 4a-y }.\frac { \left ( { 4a-y } \right )z } { \sqrt[] { \left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 4az } { \sqrt[] { \left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } } $
$ d\left ( { AC;SB } \right )=d\left ( { AC;\left ( { SBF_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { AB } { HF_{ 1 } }d\left ( { H;\left ( { SBF_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { 3a } { 3a-x }.\frac { \left ( { 3a-x } \right )z } { \sqrt[] { \left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 3az } { \sqrt[] { \left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } } $
Ta có hệ: $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 12az } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } }=\frac { 6a\sqrt[] { 34 } } { 17 } \\ \frac { 4az } { \sqrt[] { \left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 12a\sqrt[] { 13 } } { 13 } \\ \frac { 3az } { \sqrt[] { \left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 12a } { 5 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \frac { \sqrt[] { 2 }z } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 17 } } \\ \frac { z } { \sqrt[] { \left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 3 } { \sqrt[] { 13 } } \\ \frac { z } { \sqrt[] { \left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 4 } { 5 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 34z ^ { 2 } =\left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } \\ 13z ^ { 2 } =9\left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +9z ^ { 2 } \\ 25z ^ { 2 } =16\left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +16z ^ { 2 } \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9z ^ { 2 } =\left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } \\ 4z ^ { 2 } =9\left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } \\ 9z ^ { 2 } =16\left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 3z=3y+4x \\ 2z=12a-3y \\ 3z=12a-4x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 3z=3y+4x \\ 2z=12a-3y \\ 6z=12a+3y \end{array} \right.\Rightarrow 8z=24a\Rightarrow z=3a $.
$ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }S_{ \Delta ABC } .SH=\frac { 1 } { 6 }AB.AC.SH=\frac { 1 } { 6 }3a.4a.3a=6a ^ { 3 } $.
$ \Delta ABC $ vuông tại $ A $$ \Rightarrow BC=\sqrt[] { (AB)^2 +(AC)^2 }=\sqrt[] { \left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 4a } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 25a ^ { 2 } }=5a $
Vẽ $ \Delta MNP $ sao cho $ AB $, $ BC $, $ CA $ là các đường trung bình của $ \Delta MNP $$ \Rightarrow ACBN $; $ ABCP $ là các hình bình hành; $ ABMC $ là hình chữ nhật và $ MP=6a $; $ MN=8a $; $ NP=10a $
Ta có: $ BC{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\left ( { SNP } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { SA,BC } \right )=d\left ( { BC,\left ( { SNP } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SNP } \right ) } \right ) $
Lại có: $ \frac { d\left ( { B,\left ( { SNP } \right ) } \right ) } { d\left ( { M,\left ( { SNP } \right ) } \right ) }=\frac { BN } { MN }=\frac { 1 } { 2 } $$ \Rightarrow d\left ( { M,\left ( { SNP } \right ) } \right )=2d\left ( { B,\left ( { SNP } \right ) } \right )=2d\left ( { SA,BC } \right )=\frac { 12a\sqrt[] { 34 } } { 17 } $
Tương tự ta tính được:
$ d\left ( { P,\left ( { SMN } \right ) } \right )=2d\left ( { SB,CA } \right )=\frac { 24a } { 5 } $ và $ d\left ( { N,\left ( { SMP } \right ) } \right )=2d\left ( { SC,AB } \right )=\frac { 24a\sqrt[] { 13 } } { 13 } $
Gọi $ D $, $ E $, $ F $ lần lượt là hình chiếu của $ H $ lên $ NP $, $ MP $, $ MN $ và đặt $ h=SH=d\left ( { S,\left ( { MNP } \right ) } \right ) $
Ta có: $ SH⊥NP $ và $ HD⊥NP $$ \Rightarrow NP⊥\left ( { SHD } \right ) $
Chứng minh tương tự: $ HE⊥\left ( { SMP } \right ) $; $ HF⊥\left ( { SMN } \right ) $
Do đó: $ 3V_{ SMNP } =d\left ( { M,\left ( { SNP } \right ) } \right ).\,S_{ SNP } =d\left ( { N,\left ( { SMP } \right ) } \right ).\,S_{ SMP } $
$ =d\left ( { P,\left ( { SMN } \right ) } \right ).\,S_{ SMN } =d\left ( { S,\left ( { MNP } \right ) } \right ).\,S_{ MNP } =h.\,S_{ MNP } $
Mặt khác: $ S_{ SNP } =\frac { 1 } { 2 }SD.\,NP=5a.\,SD $; $ S_{ SMP } =\frac { 1 } { 2 }SE.\,MP=3a.\,SE $;
$ S_{ SMN } =\frac { 1 } { 2 }SF.\,MN=4a.\,SF $; $ S_{ MNP } =\frac { 1 } { 2 }MN.\,MP=24a ^ { 2 } $
$ \Rightarrow \frac { 12a\sqrt[] { 34 } } { 17 }\cdot 5a\cdot SD=\frac { 24a\sqrt[] { 13 } } { 13 }\cdot 3a\cdot SE=\frac { 24a } { 5 }\cdot 4a\cdot SF=24a ^ { 2 } h $
$ \Rightarrow SD=\frac { h\sqrt[] { 34 } } { 5 } $; $ SE=\frac { h\sqrt[] { 13 } } { 3 } $; $ SF=\frac { 5h } { 4 } $
Ta lại có: $ HD=\sqrt[] { (SD)^2 -(SH)^2 }=\sqrt[] { \frac { 34h ^ { 2 } } { 25 }-h ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 9h ^ { 2 } } { 25 } }=\frac { 3h } { 5 } $
$ HE=\sqrt[] { (SE)^2 -(SH)^2 }=\sqrt[] { \frac { 13h ^ { 2 } } { 9 }-h ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 4h ^ { 2 } } { 9 } }=\frac { 2h } { 3 } $
$ HF=\sqrt[] { (SF)^2 -(SH)^2 }=\sqrt[] { \frac { 25h ^ { 2 } } { 16 }-h ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 9h ^ { 2 } } { 16 } }=\frac { 3h } { 4 } $
Mà $ S_{ MNP } =S_{ HNP } +S_{ HMP } +S_{ HMN } =\frac { 1 } { 2 }HD\cdot NP+\frac { 1 } { 2 }HE\cdot MP+\frac { 1 } { 2 }HF\cdot MN $
$ \Rightarrow \frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { 3h } { 5 }\cdot 10a+\frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { 2h } { 3 }\cdot 6a+\frac { 1 } { 2 }\cdot \frac { 3h } { 4 }\cdot 8a=24a ^ { 2 } $$ \Rightarrow 8ah=24a ^ { 2 } $$ \Rightarrow h=3a $
Vậy thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }h\cdot S_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }\cdot 3a\cdot \frac { 1 } { 2 }\cdot 3a\cdot 4a=6a ^ { 3 } $.
Cách 2
Từ $ B $ và $ C $ lần lượt kẻ các đường thẳng song song với $ AC $ và $ BD $ cắt nhau tại $ D $, ta có hình chữ nhật $ ABCD $.
Từ $ H $ kẻ đường thẳng song song với $ AC $ cắt $ AB $ và $ CD $ lần lượt tại $ E $ và $ E_{ 1 } $.
Từ $ H $ kẻ đường thẳng song song với $ AB $ cắt $ AC $ và $ BD $ lần lượt tại $ F $ và $ F_{ 1 } $.
Từ $ A $ kẻ đường thẳng $ \Delta $ song song với $ BD $, đường thẳng qua $ H $ vuông góc với $ \Delta $ cắt $ \Delta $ tại $ J $.
Gọi $ \left ( { \alpha } \right )=\left ( { SA;\Delta } \right ) $.
Đặt $ AE=x $, $ AF=y $. Ta có $ tan \widehat { FAH }=\frac { x } { y } $.
Kéo dài $ AH $ cắt $ BC $ tại $ I $, từ $ I $ kẻ đường thẳng vuông góc với $ AC $ tại $ K $. Ta có:
$ \left \{ \begin{array}{l} \frac { KI } { AK }=\frac { x } { y }\Leftrightarrow AK=\frac { y } { x }KI \\ \frac { KI } { KC }=\frac { AB } { AC }=\frac { 3 } { 4 }\Leftrightarrow KC=\frac { 4 } { 3 }KI \end{array} \right.\Rightarrow AC=AK+KC=\frac { y } { x }KI+\frac { 4 } { 3 }KI\Leftrightarrow 4a=\frac { 4x+3y } { 3x }KI $
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} AK=\frac { 12ay } { 3y+4x } \\ KI=\frac { 12ax } { 3y+4x } \end{array} \right.\Rightarrow AI=\frac { 12a\sqrt[] { x ^ { 2 } +y ^ { 2 } } } { 3y+4x }\Rightarrow \frac { AI } { AH }=\frac { 12a } { 3y+4x } $
Gọi $ H_{ 1 } $ là chân đường cao kẻ từ đỉnh $ A $ của tam giác $ ABC $, suy ra $ AH_{ 1 } =\frac { 12a } { 5 } $.
Hai tam giác $ HAJ $ và $ AH_{ 1 } I $ đồng dạng nên: $ \frac { JH } { AH_{ 1 } }=\frac { AH } { AI }=\frac { 3y+4x } { 12a }\Rightarrow JH=\frac { 3y+4x } { 5 } $.
$ d\left ( { H;\alpha } \right )=\frac { HJ.SH } { \sqrt[] { (HJ)^2 +(SH)^2 } }=\frac { \left ( { 3y+4x } \right )z } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } } $
$ d\left ( { BC;SA } \right )=d\left ( { BC;\left ( { \alpha } \right ) } \right )=d\left ( { I;\left ( { \alpha } \right ) } \right )=\frac { IA } { HA }d\left ( { H;\left ( { \alpha } \right ) } \right ) $
$ =\frac { 12a } { 3y+4x }.\frac { \left ( { 3y+4x } \right )z } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } }=\frac { 12az } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } } $
$ d\left ( { AB;SC } \right )=d\left ( { AB;\left ( { SCE_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { AC } { HE_{ 1 } }d\left ( { H;\left ( { SCE_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { 4a } { 4a-y }.\frac { \left ( { 4a-y } \right )z } { \sqrt[] { \left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 4az } { \sqrt[] { \left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } } $
$ d\left ( { AC;SB } \right )=d\left ( { AC;\left ( { SBF_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { AB } { HF_{ 1 } }d\left ( { H;\left ( { SBF_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { 3a } { 3a-x }.\frac { \left ( { 3a-x } \right )z } { \sqrt[] { \left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 3az } { \sqrt[] { \left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } } $
Ta có hệ: $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 12az } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } }=\frac { 6a\sqrt[] { 34 } } { 17 } \\ \frac { 4az } { \sqrt[] { \left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 12a\sqrt[] { 13 } } { 13 } \\ \frac { 3az } { \sqrt[] { \left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 12a } { 5 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \frac { \sqrt[] { 2 }z } { \sqrt[] { \left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 17 } } \\ \frac { z } { \sqrt[] { \left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 3 } { \sqrt[] { 13 } } \\ \frac { z } { \sqrt[] { \left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } } }=\frac { 4 } { 5 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 34z ^ { 2 } =\left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } +25z ^ { 2 } \\ 13z ^ { 2 } =9\left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } +9z ^ { 2 } \\ 25z ^ { 2 } =16\left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } +16z ^ { 2 } \end{array} \right. $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 9z ^ { 2 } =\left ( { 3y+4x } \right ) ^ { 2 } \\ 4z ^ { 2 } =9\left ( { 4a-y } \right ) ^ { 2 } \\ 9z ^ { 2 } =16\left ( { 3a-x } \right ) ^ { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 3z=3y+4x \\ 2z=12a-3y \\ 3z=12a-4x \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 3z=3y+4x \\ 2z=12a-3y \\ 6z=12a+3y \end{array} \right.\Rightarrow 8z=24a\Rightarrow z=3a $.
$ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }S_{ \Delta ABC } .SH=\frac { 1 } { 6 }AB.AC.SH=\frac { 1 } { 6 }3a.4a.3a=6a ^ { 3 } $.