Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập · Bài 19
Có 3 đồng tiền xu phân biệt, đồng thứ nhất được chế tạo cân đối đồng chất, đồng thứ hai và đồng thứ ba chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp bằng 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Gieo 3 đồng xu, mỗi đồng một lần một cách độc lập, xác suất để có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa là :
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $A_i$ là biến cố “Đồng xu thứ $i$ xuất hiện mặt ngửa”, ($i=1,2,3$).
$A$ là biến cố “Có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa”
$\overline{A}$ là biến cố “ Không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa”
Do đồng xu thứ nhất chế tạo cân đối, đồng chất nên $P\left( A_1 \right)=P\left( \overline{A_1} \right)=\frac{1}{2}$.
Đồng xu thứ 2 chế tạo không cân đối, xác suất xuất hiện mặt sấp bằng 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa nên ta có $\left\{ \begin{array}{l} P\left( \overline{A_2} \right)=3P\left( A_2 \right) \\ P\left( A_2 \right)+P\left( \overline{A_2} \right)=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P\left( A_2 \right)=\frac{1}{4} \\ P\left( \overline{A_2} \right)=\frac{3}{4} \end{array} \right.$.
Tương tự, ta có $P\left( A_3 \right)=\frac{1}{4},\,P\left( \overline{A_3} \right)=\frac{3}{4}$.
Ta có $\overline{A}=\overline{A_1}\,\overline{A_2}\,\overline{A_3}$, do $\overline{A_1},\,\,\overline{A_2},\,\,\overline{A_3}$ là các biến cố độc lập nên
$P\left( \overline{A} \right)=P\left( \overline{A_1} \right)P\left( \overline{A_2} \right)P\left( \overline{A_3} \right)=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4}=\frac{9}{32}$.
Suy ra, $P\left( A \right)=1-\frac{9}{32}=\frac{23}{32}.$
$A$ là biến cố “Có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa”
$\overline{A}$ là biến cố “ Không có đồng xu nào xuất hiện mặt ngửa”
Do đồng xu thứ nhất chế tạo cân đối, đồng chất nên $P\left( A_1 \right)=P\left( \overline{A_1} \right)=\frac{1}{2}$.
Đồng xu thứ 2 chế tạo không cân đối, xác suất xuất hiện mặt sấp bằng 3 lần xác suất xuất hiện mặt ngửa nên ta có $\left\{ \begin{array}{l} P\left( \overline{A_2} \right)=3P\left( A_2 \right) \\ P\left( A_2 \right)+P\left( \overline{A_2} \right)=1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} P\left( A_2 \right)=\frac{1}{4} \\ P\left( \overline{A_2} \right)=\frac{3}{4} \end{array} \right.$.
Tương tự, ta có $P\left( A_3 \right)=\frac{1}{4},\,P\left( \overline{A_3} \right)=\frac{3}{4}$.
Ta có $\overline{A}=\overline{A_1}\,\overline{A_2}\,\overline{A_3}$, do $\overline{A_1},\,\,\overline{A_2},\,\,\overline{A_3}$ là các biến cố độc lập nên
$P\left( \overline{A} \right)=P\left( \overline{A_1} \right)P\left( \overline{A_2} \right)P\left( \overline{A_3} \right)=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{3}{4}=\frac{9}{32}$.
Suy ra, $P\left( A \right)=1-\frac{9}{32}=\frac{23}{32}.$