Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $ m $ thuộc đoạn $ [-5;15] $ để đồ thị hàm số $ y=\frac { \sqrt[] { mx ^ { 2 } -9 } } { x-1 } $ có ba đường tiệm cận.

TH1: Với $ m\leq 0 $ thì hàm số không xác định nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán. TH2: Với $ m>0 $: Hàm số xác định khi và chỉ khi $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x\in \left ( { -\infty ;-\frac { 3 } { \sqrt[] { m } } } \right ]∪\left [ { \frac { 3 } { \sqrt[] { m } };+\infty } \right ). \\ x\neq 1 \\ \end{array} \end{array} \right. $ Ta có: $ \lim\limits_{ x\to +\infty } y=\lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { \sqrt[] { mx ^ { 2 } -9 } } { x-1 }=\sqrt[] { m } $;$ \lim\limits_{ x\to -\infty } y=\lim\limits_{ x\to -\infty } \frac { \sqrt[] { mx ^ { 2 } -9 } } { x-1 }=-\sqrt[] { m } $ Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai đường tiệm cận ngang là $ y=\sqrt[] { m } $ và $ y=-\sqrt[] { m } $. - Nếu $ -\frac { 3 } { \sqrt[] { m } } < 1 < \frac { 3 } { \sqrt[] { m } }⇔m < 9 $ thì đồ thị hàm số đã cho chỉ có 2 đường tiệm cận ngang mà không có đường tiệm cận đứng. Do đó không thỏa mãn. - Nếu $ m=9 $ thì $ \lim_{ x\to 1 ^ { + } } y=\lim_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { \sqrt[] { 9x ^ { 2 } -9 } } { x-1 }=\lim_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { 3\sqrt[] { x+1 } } { \sqrt[] { x-1 } }=+\infty $ nên $ x=1 $ là đường tiệm cận đứng của đồ thị. Khi đó đồ thị có 3 đường tiệm cận nên $ m=9 $ thỏa mãn yêu cầu. - Nếu $ m>9 $ thì $ \lim_{ x\to 1 ^ { + } } y=\lim_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { \sqrt[] { mx ^ { 2 } -9 } } { x-1 }=+\infty ,\lim_{ x\to 1 ^ { - } } y=\lim_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { \sqrt[] { mx ^ { 2 } -9 } } { x-1 }=-\infty $. Suy ra $ x=1 $ là đường tiệm cận đứng của đồ thị. Khi đó đồ thị có 3 đường tiệm cận nên $ m>9 $ thỏa mãn yêu cầu. Tóm lại, để đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận thì $ m\geq 9 $. Do $ m $ là số nguyên thuộc $ [-5;15] $ nên $ m\in \{9;10;11;12;13;14;15\} $ Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số $ m $ thuộc $ [-5;15] $ thỏa mãn yêu cầu đề bài và tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $ m $ là 84. Đáp án: 84.