Cho hàm đa thức bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị như sau. Đồ thị hàm số $g(x) = \frac{(x - 1)(x^{2} - 1)}{f(x)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải Ta có $f(x)$ là hàm bậc ba, cắt trục tung tại điểm $(0; -4)$ nên $f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx - 4 \Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c$. Từ đồ thị, ta thấy $f(x)$ có cực trị tại $x = -1$ và $x = 1$, và đi qua điểm $(1; -8)$. Nên ta có hệ: $$ \begin{cases} f'(-1) = 0 \\ f'(1) = 0 \\ f(1) = -8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3a - 2b + c = 0 \\ 3a + 2b + c = 0 \\ a + b + c - 4 = -8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 2 \\ b = 0 \\ c = -6 \end{cases} $$ Suy ra $f(x) = 2x^{3} - 6x - 4 = 2(x + 1)^{2}(x - 2)$. Xét hàm số $g(x)$: $$ g(x) = \frac{(x - 1)(x^{2} - 1)}{2(x + 1)^{2}(x - 2)} = \frac{(x - 1)^{2}(x + 1)}{2(x + 1)^{2}(x - 2)} = \frac{(x - 1)^{2}}{2(x + 1)(x - 2)} $$ Ta thấy $\lim_{x \to 2} g(x) = \infty$ và $\lim_{x \to -1} g(x) = \infty$ nên đồ thị hàm số $g(x)$ có hai đường tiệm cận đứng $x = 2$ và $x = -1$. Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = \frac{1}{2}$ nên đồ thị hàm số $g(x)$ có 1 đường tiệm cận ngang $y = \frac{1}{2}$. Vậy đồ thị có tổng cộng 3 đường tiệm cận.