Bài tập nâng cao Hệ thức lượng trong tam giác · Bài 1

a) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì ta có:
$\frac{S_{ABC}}{S_{GBC}}=\frac{AI}{GI}=3\Rightarrow S_{ABC}=3S_{GBC}$.
Lấy $D$ là điểm đối xứng với $G$ qua $I$ ta được hình bình hành $BGCD$, do đó
$S_{GBC}=S_{BGD}=\frac{1}{2}S_{BGCD}\Rightarrow S_{ABC}=3S_{BGD}$.
Tam giác $BGD$ có độ dài ba cạnh bằng $10,12,18$ nên
$S_{BGD}=\sqrt{20(20-10)(20-12)(20-18)}=40\sqrt{2}\Rightarrow S_{ABC}=S=120\sqrt{2}$.
b) Giả sử $m_a=15,m_b=18,m_c=27$. Ta có
$\left\{\begin{array}{l}b^2+c^2=2m_a^2+\frac{a^2}{2}\\c^2+a^2=2m_b^2+\frac{b^2}{2}\\a^2+b^2=2m_c^2+\frac{c^2}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{4}{3}(m_a^2+m_b^2+m_c^2)=1704$.
Mà $b^2-a^2=\frac{4}{3}(m_a^2-m_b^2)=-132$ và $b^2-c^2=\frac{4}{3}(m_c^2-m_b^2)=540$.
Từ đó ta tính được $b=8\sqrt{11},a=2\sqrt{209},c=2\sqrt{41}$.