Biết parabol $(P): y = x^2 - 4x + 3m$ (với $m$ là tham số thực) cắt trục hoành tại $2$ điểm có hoành độ dương $x_1, x_2$. Gọi $S_1, S_2$ và $S_3$ là diện tích hình phẳng được đánh dấu, kí hiệu như hình vẽ bên dưới. Biết $S_1 = S_2$ và $S_3 = \frac{a}{b}$, với $a, b$ là các số nguyên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T=25a^2 - 24b$.

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và trục hoành là $x^2-4x+3m=0$ (*). Và $\Delta' = 4-3m$. Để parabol $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có $2$ nghiệm phân biệt dương $$\Leftrightarrow \begin{cases} \Delta' > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 4-3m > 0 \\ 4 > 0 \\ 3m > 0 \end{cases}\Leftrightarrow 0 < m < \frac{4}{3}.$$ Vì $x_1 < x_2$ nên $x_1 = 2-\sqrt{4-3m}$; $x_2 = 2+\sqrt{4-3m}$. Khi đó *) $S_1 = \int_{0}^{x_1}(x^2-4x+3m)\,dx=\int_{0}^{2-\sqrt{\Delta'}}\left((x-2)^2-4+3m\right)dx=\left[\frac{1}{3}(x-2)^3-(4-3m)x\right]\Bigg|_{0}^{2-\sqrt{\Delta'}}=\frac{2}{3}\sqrt{\Delta'}^3-2\Delta'+\frac{8}{3}$. *) $S_2 = -\int_{x_1}^{x_2}(x^2-4x+3m)\,dx=-\int_{2-\sqrt{\Delta'}}^{2+\sqrt{\Delta'}}\left((x-2)^2-4+3m\right)dx=-\left[\frac{1}{3}(x-2)^3-(4-3m)x\right]\Bigg|_{2-\sqrt{\Delta'}}^{2+\sqrt{\Delta'}}=-\frac{2}{3}\sqrt{\Delta'}^3+2\sqrt{\Delta'}^3=\frac{4}{3}\sqrt{\Delta'}^3$. Mà $S_1 = S_2$ nên $\frac{2}{3}\sqrt{\Delta'}^3-2\Delta'+\frac{8}{3}=\frac{4}{3}\sqrt{\Delta'}^3$ $\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\sqrt{\Delta'}^3-2\Delta'+\frac{8}{3}=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{\Delta'}=1 \Leftrightarrow 4-3m=1 \Leftrightarrow m=1$ (thỏa điều kiện $0 < m < \frac{4}{3}$). Khi đó ta suy ra $(P): y=x^2-4x+3$; $x_1 = 1$ và $x_2 = 3$. Gọi $A(3;0)$; $B(0;3)$ suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là $y=-x+3$. Và $S_3 = \int_{0}^{1}(-x+3-x^2+4x-3)\,dx+\int_{1}^{3}(-x+3)\,dx=\frac{19}{6}$ (đvdt). Vậy $a=19$; $b=6$ hay $T=25a^2-24b=8881$.