(KNTT11) Cho tứ diện $ABCD$, gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$. Biết $MN=a\sqrt{3};AB=2\sqrt{2}a$ và $CD=2a$. Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $CD$.

Question

Dạng 2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc (KNTT11) Cho tứ diện $ABCD$, gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $BD$. Biết $MN=a\sqrt{3};AB=2\sqrt{2}a$ và $CD=2a$. Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $CD$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-30. HAI DUONG THANG VUONG GOC/B. TU LUAN/image393.png] Lấy $K$ là trung điểm của cạnh BC, ta có: $NK$ và $MK$ lần lượt là đường trung bình của tam giác $BCD$ và tam giác $ABC$ nên $NK=a$ và $MK=a\sqrt{2}$. Do đó, $MN^{2}=3a^{2}=MK^{2}+NK^{2}$ suy ra tam giác $MNK$ vuông tại $K$, hay $MK\perp NK$ mà $MK\parallel AB$ và $NK\parallel CD$ nên $(AB,CD)=(MK,NK)=90^{\circ}$, hay $AB\perp CD$.

Bài tự luận Hai đường thẳng vuông góc · Bài 19