Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 56
Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, đồ thị hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ. Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ bằng $3$. Tính giá trị của biểu thức:
$T=\int_1^2 f'(x+1)\,dx+\int_2^3 f'(x-1)\,dx+\int_3^4 f(2x-8)\,dx$
Xem lời giải
Lời giải
Diện tích hình phẳng phần sọc kẻ bằng $3$
$\Rightarrow \int_{-2}^0 |f(x)|\,dx=3\Leftrightarrow-\int_{-2}^0 f(x)\,dx=3\Leftrightarrow\int_{-2}^0 f(x)\,dx=-3$
Ta có: $T=\int_1^2 f'(x+1)\,dx+\int_2^3 f'(x-1)\,dx+\int_3^4 f(2x-8)\,dx$
$=[f(x+1)]_1^2+[f(x-1)]_2^3+\int_3^4 f(2x-8)\,dx$
$=f(3)-f(2)+f(2)-f(1)+\int_3^4 f(2x-8)\,dx$
$=2-(-1)+\int_3^4 f(2x-8)\,dx=3+\int_3^4 f(2x-8)\,dx$
Đặt $t=2x-8\Rightarrow dx=\frac{1}{2}dt$
Đổi cận:
$x=3\Rightarrow t=-2$
$x=4\Rightarrow t=0$
Suy ra: $T=3+\int_{-2}^0 f(t)\frac{1}{2}\,dt=3+\frac{1}{2}\int_{-2}^0 f(t)\,dt=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$.
