Bài tập nâng cao · Bài 55
Dạng 2. Ứng dụng thể tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 55
Cho hàm số $y=x^{4} -6x^{2} +m$ có đồ thị $\left( C_{m}\right)$. Giả sử $\left( C_{m}\right)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi $\left( C_{m}\right)$ và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau. Khi đó $m=\frac{a}{b}$(với $a$, $b$ là các số nguyên, $b>0$, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Giá trị của biểu thức $S=a+b$ là:
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{4} -6x^{2} +m=0$$\left( 1 \right)$.
Đặt $t=x^{2}$$\left( t\geq 0 \right)$$\left( 1 \right)$ trở thành $t^{2} -6t+m=0$ $\left( 2 \right)$.
$\left( C_{m}\right)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \Delta '=\left( -3 \right)^{2} -m>0 \\ P=m>0 \\ S=6>0 \\ \end{array} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow 0 < m < 9$$\left( * \right)$.
Gọi $t_{1}$, $t_{2}$$\left( 0 < t_{1}< t_{2}\right)$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$. Lúc đó phương trình $\left( 1 \right)$ có bốn nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: $x_{1}=-\sqrt{t_{2}}$; $x_{2}=-\sqrt{t_{1}}$; $x_{3}=\sqrt{t_{1}}$; $x_{4}=\sqrt{t_{2}}$.
Do tính đối xứng của đồ thị $\left( C_{m}\right)$ nên có $\int _{0}^{x_{3}} { \left( x^{4} -6x^{2} +m \right){ \rm{ d } }x }$ $=\int _{ x_{3}}^{x_{4}} { \left( -x^{4} +6x^{2} -m \right){ \rm{ d } }x }$$\Rightarrow \frac{x_{4}^{5}}{5}-2x_{4}^{3}+mx_{4}=0$$\Leftrightarrow x_4^5-10x_4^3+5mx_4=0$.
Từ đó có $x_{4}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{4}^{4}-6x_{4}^{2}+m=0\, \\ x_{4}^{4}-10x_{4}^{2}+5m=0\, \end{array} \right. \begin{array}{l} \left( 3 \right) \\ \left( 4 \right) \\ \end{array}$
Lấy $\left( 3 \right)-\left( 4 \right)$$\Rightarrow x_{4}^{2}=m$, thay $x_{4}^{2}=m$ vào $\left( 3 \right)$ có: $m^{2} -5m=0$$\Rightarrow m=0∨m=5$.
Đối chiếu điều kiện $\left( * \right)$ ta có $m=5$$\Rightarrow a=5$ và $b=1$. Vậy $S=6$.
Đặt $t=x^{2}$$\left( t\geq 0 \right)$$\left( 1 \right)$ trở thành $t^{2} -6t+m=0$ $\left( 2 \right)$.
$\left( C_{m}\right)$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình $\left( 1 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \Delta '=\left( -3 \right)^{2} -m>0 \\ P=m>0 \\ S=6>0 \\ \end{array} \end{array} \right.$$\Leftrightarrow 0 < m < 9$$\left( * \right)$.
Gọi $t_{1}$, $t_{2}$$\left( 0 < t_{1}< t_{2}\right)$ là hai nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$. Lúc đó phương trình $\left( 1 \right)$ có bốn nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: $x_{1}=-\sqrt{t_{2}}$; $x_{2}=-\sqrt{t_{1}}$; $x_{3}=\sqrt{t_{1}}$; $x_{4}=\sqrt{t_{2}}$.
Do tính đối xứng của đồ thị $\left( C_{m}\right)$ nên có $\int _{0}^{x_{3}} { \left( x^{4} -6x^{2} +m \right){ \rm{ d } }x }$ $=\int _{ x_{3}}^{x_{4}} { \left( -x^{4} +6x^{2} -m \right){ \rm{ d } }x }$$\Rightarrow \frac{x_{4}^{5}}{5}-2x_{4}^{3}+mx_{4}=0$$\Leftrightarrow x_4^5-10x_4^3+5mx_4=0$.
Từ đó có $x_{4}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{4}^{4}-6x_{4}^{2}+m=0\, \\ x_{4}^{4}-10x_{4}^{2}+5m=0\, \end{array} \right. \begin{array}{l} \left( 3 \right) \\ \left( 4 \right) \\ \end{array}$
Lấy $\left( 3 \right)-\left( 4 \right)$$\Rightarrow x_{4}^{2}=m$, thay $x_{4}^{2}=m$ vào $\left( 3 \right)$ có: $m^{2} -5m=0$$\Rightarrow m=0∨m=5$.
Đối chiếu điều kiện $\left( * \right)$ ta có $m=5$$\Rightarrow a=5$ và $b=1$. Vậy $S=6$.