Bài tập nâng cao · Bài 54
Dạng 2. Ứng dụng thể tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 54
Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là $2,25$ mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là $3$ mét. Giá thuê mỗi mét vuông là $1500000$ đồng. Vậy số tiền bác Năm phải trả là:
Xem lời giải
Lời giải
Gọi phương trình parabol $\left( P \right):y=ax^{2} +bx+c$. Do tính đối xứng của parabol nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $\left( P \right)$ có đỉnh $I\in Oy$ (như hình vẽ).
Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{4}=c,\left ( { I\in \left( P \right) } \right ) \\ \frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0\left ( { A\in \left( P \right) } \right ) \\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0\left ( { B\in \left( P \right) } \right ) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c=\frac{9}{4} \\ a=-1 \\ b=0 \end{array} \right.$.
Vậy $\left( P \right):y=-x^{2} +\frac{9}{4}$.
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:
$S=\int _{ \frac{-3}{2} }^{\frac{3}{2} } { \left( -x^{2} +\frac{9}{4} \right){ \rm{ d } }x }$$=2\int _{0}^{\frac{3}{2} } { \left( -x^{2} +\frac{9}{4} \right){ \rm{ d } }x }$$=\left | { 2\left( \frac{-x^{3}}{3}+\frac{9}{4}x \right) } \right ._{0}^{\frac{3}{2} }$$=\frac{9}{2}{ \rm{ m } }^{2}$.
Số tiền phải trả là: $\frac{9}{2}.1500000=6750000$ đồng.
Ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} \frac{9}{4}=c,\left ( { I\in \left( P \right) } \right ) \\ \frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b+c=0\left ( { A\in \left( P \right) } \right ) \\ \frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b+c=0\left ( { B\in \left( P \right) } \right ) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c=\frac{9}{4} \\ a=-1 \\ b=0 \end{array} \right.$.
Vậy $\left( P \right):y=-x^{2} +\frac{9}{4}$.
Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:
$S=\int _{ \frac{-3}{2} }^{\frac{3}{2} } { \left( -x^{2} +\frac{9}{4} \right){ \rm{ d } }x }$$=2\int _{0}^{\frac{3}{2} } { \left( -x^{2} +\frac{9}{4} \right){ \rm{ d } }x }$$=\left | { 2\left( \frac{-x^{3}}{3}+\frac{9}{4}x \right) } \right ._{0}^{\frac{3}{2} }$$=\frac{9}{2}{ \rm{ m } }^{2}$.
Số tiền phải trả là: $\frac{9}{2}.1500000=6750000$ đồng.