Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 53

Cách 1: Gọi $I, H, K, E$ là các điểm như hình vẽ.
* Ta có: $\widehat { IHO }=60°$
$OH^{2} =OB^{2} -BH^{2} =R^{2} -\frac{3R^{2}}{4}=\frac{R^{2}}{4}$$\Rightarrow OH=\frac{R}{2}$$\Rightarrow OI=OH.\tan 60°=\frac{R\sqrt{3}}{2}$, $IH=\frac{OH}{\cos 60°}=R$, $\Delta IOH\sim \Delta EKH$ nên ta có: $\frac{IE}{IH}=\frac{OK}{OH}=2\Rightarrow IE=2R$.
* Chọn hệ trục tọa độ $Ixy$ như hình vẽ ta có elip $\left( E \right)$ có bán trục lớn là $a=IE=2R$ và $\left( E \right)$ đi qua $A\left( -R;\,\frac{R\sqrt{3}}{2} \right)$ nên $\left( E \right)$ có phương trình là $\left( E \right):\frac{x^{2}}{4R^{2} }+\frac{y^{2}}{R^{2} }=1$.
* Diện tích của thiết diện là $S=2\int _{ -R }^{2R} { R\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4R^{2} } } }{ \rm{ d } }x=2R\int _{ -R }^{2R} { \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4R^{2} } }{ \rm{ d } }x }$
* Xét tích phân: $I=\int _{ -R }^{2R} { \sqrt{1-\frac{x^{2}}{4R^{2} } }{ \rm{ d } }{ \rm{ x } } }$, đặt $x=2R.\sin t; t\in \left[ -\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2} \right]$ ta được
$I=R\int _{ -\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{2} } { \left( 1+\cos 2t \right){ \rm{ d } }t }=R\left | { \left( t+\frac{\sin 2t}{2} \right) } \right ._{ -\frac{\pi}{6} }^{\frac{\pi}{2} }=\left( \frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4} \right)R$$\Rightarrow S=\left( \frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R^{2}$.
Cách 2: $\cos \widehat { AOB }=\frac{OA^{2} +OB^{2} -AB^{2}}{2.OA.OB}=-\,\frac{1}{2}\Rightarrow \,\, \widehat { AOB }=120°\Rightarrow \,\,OH=\frac{R}{2}.$
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ

$\Rightarrow$ Phương trình đường tròn đáy là $x^{2} +y^{2} =R^{2} \Leftrightarrow y=\pm \,\sqrt{R^{2} -x^{2} }.$
Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ.
Ta có $S=2\,\int _{ -\,\frac{R}{2} }^{R} { \sqrt{R^{2} -x^{2} }\,{ \rm{ d } }x }.$ Đặt $x=R.\sin t$$\Rightarrow \,\,S=\left( \frac{2\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4} \right)R^{2} .$
Gọi diện tích phần elip cần tính là $S'.$
Theo công thức hình chiếu, ta có $S'=\frac{S}{\cos 60°}=2\,S=\left( \frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)R^{2} .$