Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 52
Cơ sở sản xuất của ông A có đặt mua từ cơ sở sản xuất $7$ thùng rượu với kích thước như nhau, thùng có dạng khối tròn xoay với đường sinh dạng parabol, mỗi thùng rượu có bán kính hai mặt là $40\,\,{ \rm{ c } }{ \rm{ m } }$ và ở giữa là $50\,\,{ \rm{ c } }{ \rm{ m } }$. Chiều dài mỗi thùng rượu là $100\,\,{ \rm{ c } }{ \rm{ m } }$. Biết rằng thùng rượu chứa đầy rượu và giá mỗi lít rượu là $30$ nghìn đồng. Số tiền mà cửa hàng của ông A phải trả cho cơ sở sản xuất rượu gần nhất với $M$ nghìn đồng, trong đó $M$ là số nguyên dương. Giá trị của $M$ là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử đường sinh có phương trình là $f\left( x \right)=ax^{2} +bx+c\,\,\left( a\neq 0 \right)$.
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Khi đó Parabol đi qua các điểm $M\left( 0;0,5 \right),A\left( -0,5;0,4 \right),B\left( 0,5;0,4 \right)$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} c=0,5 \\ \frac{1}{4}a-0,5b+0,5=0,4 \\ \frac{1}{4}a+0,5b+0,5=0,4 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} c=0,5 \\ a=-\frac{2}{5} \\ b=0 \end{array} \right.$.
Đường sinh có phương trình $f\left( x \right)=-\frac{2}{5}x^{2} +\frac{1}{2}$.
Vậy thể tích một thùng rượu vang bằng $V=\pi \int _{ -0,5 }^{0,5} { \left( -\frac{2}{5}x^{2} +\frac{1}{2} \right)^{2} { \rm{ d } }x }=\frac{82}{375}\pi \left( m^{3} \right)$.
Một thùng rượu chứa
$\frac{82}{375}\pi\cdot1000=\frac{656\pi}{3}$ lít rượu.
Do giá mỗi lít là $30$ nghìn đồng, số tiền mua $7$ thùng, tính theo nghìn đồng, là
$M=7\cdot30\cdot\frac{656\pi}{3}=45920\pi\approx144262{,}82$.
Vậy số nguyên dương gần nhất là $M=144263$.
