Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 51
Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng 4m. Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là $150.000$ đồng/${ \rm{ m } }^{2}$ và $100.000$ đồng/${ \rm{ m } }^{2}$. Hỏi số tiền cần để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó gần nhất với số nào sau đây?
Xem lời giải
Lời giải
Kết hợp vào hệ trục tọa độ, ta được:
Gọi parabol là $\left( P \right):y=ax^{2}$. Do $F\left( 2\,;\,4 \right)\in \left( P \right)$ nên $\left( P \right):y=x^{2}$.
Gọi đường tròn có tâm ở gốc tọa độ là $\left( C \right):x^{2} +y^{2} =R^{2}$. Do $F\left( 2\,;\,4 \right)\in \left( C \right)$ nên nửa đường tròn trên là $y=\sqrt{20-x^{2} }$.
Đặt $S_{1}$ là diện tích phần tô đậm. Khi đó: $S_{1}=2.\int _{0}^{2} { \left( \sqrt{20-x^{2} }-x^{2} \right){ \rm{ d } }x }=20arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)+\frac{8}{3}$.
Đặt $S_{2}$ là diện tích phần không tô đậm. Khi đó: $S_{2}=\frac{1}{2}.\pi .R^{2} -S_{1}=10\pi -20arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)-\frac{8}{3}$.
Vậy: Số tiền cần để trồng hoa và cỏ Nhật Bản là: $T=150000.S_{1}+100000.S_{2}\approx 3738574$(đồng).
