Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 50
Một thùng chứa rượu làm bằng gỗ là một hình tròn xoay như hình bên có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng $8$ dm. Đường cong mặt bên của thùng là một phần của đường elip có độ dài trục lớn bằng $10$ dm, độ dài trục bé bằng $6$ dm.
Hỏi chiếc thùng gỗ đó đựng được bao nhiêu lít rượu?
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Elip có độ dài trục lớn bằng $10$, trục bé bằng $6$ có phương trình $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\Rightarrow y=3\sqrt{1-\frac{x^{2}}{25} }$.
Thùng gỗ xem như vật thể tròn xoay hình thành bằng cách quay elip quanh trục $Ox$ và được giới hạn bởi hai đường thẳng $x=-4$, $x=4$.
Thể tích vật thể là $V=\pi \int _{ -4 }^{4} { y^{2} { \rm{ d } }x }=9\pi \int _{ -4 }^{4} { \left( 1-\frac{x^{2}}{25} \right){ \rm{ d } }x=\frac{1416\pi}{25} }$ dm3 $=\frac{1416\pi}{25}$ (lít).
