Bài tập nâng cao · Bài 1
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 1
Trong không gian $Oxyz$, cho $A(3;0;0)$, $B(1;2;1)$ và $C(2;-1;2)$. Biết mặt phẳng qua $B$, $C$ và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ có một vectơ pháp tuyến là $(10;a;b)$. Tính $a+b$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi tâm mặt cầu nội tiếp là $I(x;y;z)$. Ta có $(OBC):x-z=0$ và $(ABC):5x+3y+4z-15=0$. Vì $I$ cách đều hai mặt phẳng này nên
$\dfrac{|x-z|}{\sqrt2}=\dfrac{|5x+3y+4z-15|}{5\sqrt2}$,
suy ra hai mặt phẳng phân giác $y+3z-5=0$ và $10x+3y-z-15=0$. Do $A,O$ cùng phía đối với mặt phẳng thứ nhất và khác phía đối với mặt phẳng thứ hai, mặt phẳng cần tìm là $10x+3y-z-15=0$. Vậy $(10;a;b)=(10;3;-1)$, nên $a+b=2$.
$\dfrac{|x-z|}{\sqrt2}=\dfrac{|5x+3y+4z-15|}{5\sqrt2}$,
suy ra hai mặt phẳng phân giác $y+3z-5=0$ và $10x+3y-z-15=0$. Do $A,O$ cùng phía đối với mặt phẳng thứ nhất và khác phía đối với mặt phẳng thứ hai, mặt phẳng cần tìm là $10x+3y-z-15=0$. Vậy $(10;a;b)=(10;3;-1)$, nên $a+b=2$.