Bài tập nâng cao · Bài 2
Bài tập nâng cao Phương trình mặt phẳng · Bài 2
Trong không gian $Oxyz$, cho $M(1;2;1)$, $N(-1;0;-1)$. Có bao nhiêu mặt phẳng qua $M,N$, cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ ($A\ne B$) và thỏa mãn $AM=\sqrt3\,BN$?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi mặt phẳng có vectơ pháp tuyến $(A;B;C)$. Vì đi qua $N$, phương trình có dạng $A(x+1)+By+C(z+1)=0$. Thay $M$ vào được $A+B+C=0$. Giao với $Ox$ tại $(B/A;0;0)$; giao với $Oy$ cho $B=0$ hoặc tung độ giao điểm bằng $1$. Trường hợp $B=0$ dẫn đến hai giao điểm đều là $O$, bị loại. Do đó $B=(0;1;0)$, $BN=\sqrt3$ và
$AM=\sqrt{(1-B/A)^2+5}=3$.
Suy ra $B/A=-1$ hoặc $B/A=3$. Hai mặt phẳng tương ứng là $x-y+1=0$ và $x+3y-4z-3=0$. Vậy có $2$ mặt phẳng.
$AM=\sqrt{(1-B/A)^2+5}=3$.
Suy ra $B/A=-1$ hoặc $B/A=3$. Hai mặt phẳng tương ứng là $x-y+1=0$ và $x+3y-4z-3=0$. Vậy có $2$ mặt phẳng.