(CTST11) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $M\left( t;t^{2} \right),t>0$, nằm trên đường parabol $y=x^{2}$. Đường trung trực của đoạn thẳng $OM$ cắt trục tung tại $N$. Điểm $N$ dần đến điểm nào khi điểm $M$ dần đến điểm $O$ ?
Xem lời giải
Lời giải
Trung điểm của đoạn thẳng $OM$ là $I\left( \frac{t}{2};\frac{t^{2}}{2} \right)$.
Đường trung trực của $OM$ nhận vectơ $\overrightarrow{OM}=\left( t;t^{2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $d:t\left( x-\frac{t}{2} \right)+t^{2}\left( y-\frac{t^{2}}{2} \right)=0$. Thay $x=0$ vào phương trình của $d$, ta nhận được $y=\frac{1}{2}\left( 1+t^{2} \right)$. Suy ra $N\left( 0;\frac{1}{2}\left( 1+t^{2} \right) \right)$.
Điểm $M$ dần đến điểm $O$ khi $t$ dần đến $0^{+}$. Ta có $\lim\limits_{t\to 0^{+}}\frac{1}{2}\left( 1+t^{2} \right)=\frac{1}{2}$.
Suy ra khi điểm $M$ dần đến điểm $O$ thì điểm $N$ dần đến điểm $A\left( 0;\frac{1}{2} \right)$.
