(CTST11) Cho điểm $M\left( t;\sqrt{1-t^{2}} \right),0<t<1$ nằm trên đường tròn đơn vị $(C):x^{2}+y^{2}=1$, điểm $A(1;0)$ là một giao điểm của $(C)$ với trục hoành. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên trục hoành, $K$ là giao điểm của tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ với trục hoành. Khi điểm $M$ dần đến điểm $A$ thì tỉ số $\frac{HK}{HA}$ dần đến giá trị nào?
Xem lời giải
Lời giải
Điểm $M$ dần đến điểm $A$ khi $t\to 1^{-}$. Do đó, ta cần tìm giới hạn $\lim\limits_{t\to 1^{-}}\frac{HK}{HA}$.
Ta có $H(t;0)$. Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ nhận $\overrightarrow{OM}=\left( t;\sqrt{1-t^{2}} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $d:t(x-t)+\sqrt{1-t^{2}}\left( y-\sqrt{1-t^{2}} \right)=0$.
Thay $y=0$ vào phương trình của $d$ ta nhận được $x=\frac{1}{t}$. Suy ra $K\left( \frac{1}{t};0 \right)$.
Ta có: $HA=1-t;HK=\frac{1}{t}-t=\frac{1-t^{2}}{t};\frac{HK}{HA}=\frac{1-t^{2}}{t(1-t)}=\frac{1+t}{t}$; $\lim\limits_{t\to 1^{-}}\frac{HK}{HA}=\lim\limits_{t\to 1^{-}}\frac{1+t}{t}=\frac{1+1}{1}=2$.
Vậy khi điểm $M$ dần đến điểm $A$ thì giá trị của tỉ số $\frac{HK}{HA}$ dần đến 2.
