Dạng 9. Tìm tham số để hàm số hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 46
(Sở Nam Định 2023) Cho hàm số $ y=f(x)=ax ^ { 4 } +bx ^ { 3 } +cx ^ { 2 } +dx+e(a\neq 0) $, hàm số $ y=f΄(1+2x) $ có đồ thì như hình vẽ sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $ m $ để hàm số $ g(x)=f\left ( { \left | { x ^ { 3 } +5x } \right |+m } \right ) $ có ít nhất 5 điểm cực tri?
Xem lời giải
Lời giải
Từ đồ thi ta có: $ f΄(1+2x)=k(x+4)(x-1)(x-5) $ với $ k < 0 $.
Đặt $ t=1+2x\Rightarrow x=\frac { t-1 } { 2 } $. Suy ra:
$ f΄(t)=k\left ( { \frac { t-1 } { 2 }+4 } \right )\left ( { \frac { t-1 } { 2 }-1 } \right )\left ( { \frac { t-1 } { 2 }-5 } \right )=\frac { k } { 8 }(t+7)(t-3)(t-11)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-7 \\ t=3 \\ t=11 \\ \end{array} \right. $
Ta có: $ g(x)=f\left ( { \left | { x ^ { 3 } +5x } \right |+m } \right )=f\left ( { \left | { \left ( { x ^ { 2 } +5 } \right )x } \right |+m } \right )=f\left ( { \|x\|\left ( { x ^ { 2 } +5 } \right )+m } \right ) $ có tập xác định là $ D=\mathbb{R} $ nên ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} ∀x_{ 0 } \in D\Rightarrow -x_{ 0 } \in D \\ g(-x)=f\left ( { \|-x\|\left ( { (-x) ^ { 2 } +5 } \right )+m } \right )=f\left ( { \|x\|\left ( { x ^ { 2 } +5 } \right )+m } \right )=g(x) \\ \end{array} \end{array} \right. $.
Do đó hàm $ g(x) $ là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng nhau qua trục tung, suy ra số điểm cực trị hàm $ g(x) $ có dạng $ (2m+1) $ trong đó $ m $ là số điểm cực trị có hoành độ dương của đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x ^ { 3 } +5x+m } \right ) $
Theo giả thiết ta có: $ 2m+1\geq 5\Rightarrow m\geq 2 $. Vậy yêu cầu bài toán tương đương với: "Tìm $ m $ để hàm số $ y=f\left ( { x ^ { 3 } +5x+m } \right ) $ có ít nhất hai điểm cực trị có hoành độ dương".
Xét hàm $ y=f\left ( { x ^ { 3 } +5x+m } \right ) $ với $ x\in (0;+\infty ) $.
Ta có:
$ y΄=\left ( { 3x ^ { 2 } +5 } \right )f΄\left ( { x ^ { 3 } +5x+m } \right )=0\Leftrightarrow f΄\left ( { x ^ { 3 } +5x+m } \right )=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x ^ { 3 } +5x+m=-7 \\ x ^ { 3 } +5x+m=3 \\ x ^ { 3 } +5x+m=11 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=-x ^ { 3 } -5x-7 \\ m=-x ^ { 3 } -5x+3 \\ m=-x ^ { 3 } -5x+11 \\ \end{array} \right. \right. $
có ít nhất hai nghiệm dương.
Ta lập bảng biến thiên cả ba hàm trên cùng một bảng ta có:
Để có ít nhất hai nghiệm dương thì $ m < 3 $. Mà $ m\in \mathbb{Z} ^ { + } \Rightarrow m=\{1;2\} $.
Vậy có hai giá trị nguyên dương của tham số $ m $ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
