Dạng 9. Tìm tham số để hàm số hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 45
(Đại học Hồng Đức 2022) Cho hàm đa thức $ y=\left[ f\left ( { x ^ { 2 } +2x } \right ) \right]′ $ có đồ thị cắt trục $ Ox $ tại 5 điểm phân biệt như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu giá trị của tham số $ m $ với $ 2022m\in \mathbb{Z} $ để hàm số $ g(x)=f\left ( { x ^ { 2 } -2\|x-1\|-2x+m } \right ) $ có 9 điểm cực trị?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$[f(x^2+2x)]'=(2x+2)f'(x^2+2x)=a(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)\ (a>0)\Rightarrow f'(x^2+2x)=\frac a2(x+3)(x+2)x(x-1)=\frac a2(x^2+2x-3)(x^2+2x)$.
Đặt $ t=x ^ { 2 } +2x\Rightarrow f′(t)=\frac { a } { 2 }(t-3)t $.
Ta có $ g(x)=f\left ( { x ^ { 2 } -2\|x-1\|-2x+m } \right )=f\left ( { \|x-1\| ^ { 2 } -2\|x-1\|+m-1 } \right ) $.
Ta thấy $ g(2-x)=g(x),∀x\in \mathbb{R} $ nên đồ thị hàm số $ y=g(x) $ nhận đường thẳng $ x=1 $ làm trục đối xứng. Do đó số điểm cực trị của hàm số $ g(x) $ bằng $ 2a+1 $ với $ a $ là số điểm cực trị lớn hơn 1 của hàm số $ g(x) $. Theo bài ra ta có $ 2a+1=9\Leftrightarrow a=4 $. Vi vậy ta cần tìm $ m $ để hàm số $ g(x) $ có đúng 4 điểm cực trị lớn hơn 1.
Khi $ x>1 $ thì $ g(x)=f\left ( { x ^ { 2 } -4x+m+2 } \right ) $.
$ g′(x)=(2x-4)f′\left ( { x ^ { 2 } -4x+m+2 } \right ),g′(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=2 \\ x ^ { 2 } -4x+m+2=0(1). \\ x ^ { 2 } -4x+m+2=3{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 2 } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } } \\ \end{array} \right. $
Đặt $ u(x)=x ^ { 2 } -4x+m+2 $, ta có bảng biến thiên
Yêu cầu bài toán trở thành tìm $m$ để hai phương trình (1), (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt khác 2; điều này xảy ra khi và chỉ khi $m-2<0<m-1\Leftrightarrow 1<m<2$.
Suy ra $2022<2022m<4044\Rightarrow 2022m\in\{2023,2024,\ldots,4043\}$,
do đó có 2021 giá trị của $ m $ thỏa mãn bài toán.
