Bài tập nâng cao · Bài 78
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 78
Cho đa giác đều $12$ đỉnh nội tiếp đường tròn tâm $O$. Chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh của đa giác đó. Tính xác suất để $3$ đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho.
Xem lời giải
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega)=C_{12}^{3}$.
Gọi $A$ = “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”
$\Rightarrow\overline{A}$ = “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho”
$\Rightarrow\overline{A}$ = “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có một cạnh hoặc hai cạnh là cạnh của đa giác đã cho”
* TH1: Chọn ra tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác đã cho $\Leftrightarrow$ Chọn ra 3 đỉnh liên tiếp của đa giác 12 cạnh $\Rightarrow$ Có 12 cách.
* TH2: Chọn ra tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác đã cho $\Leftrightarrow$ Chọn ra 1 cạnh và 1 đỉnh không liền với 2 đỉnh của cạnh đó $\Rightarrow$ Có 12 cách chọn 1 cạnh và $C_{8}^{1}=8$ cách chọn đỉnh. $\Rightarrow$ Có $12\cdot8$ cách.
$\Rightarrow$ Số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là: $n(\overline{A})=12+12\cdot8$
$\Rightarrow$ Số phần tử của biến cố $A$ là: $n(A)=C_{12}^{3}-12-12\cdot8$
$\Rightarrow$ Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{C_{12}^{3}-12-12\cdot8}{C_{12}^{3}}$.
Gọi $A$ = “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho”
$\Rightarrow\overline{A}$ = “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của đa giác đã cho”
$\Rightarrow\overline{A}$ = “Chọn được ba đỉnh tạo thành tam giác có một cạnh hoặc hai cạnh là cạnh của đa giác đã cho”
* TH1: Chọn ra tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác đã cho $\Leftrightarrow$ Chọn ra 3 đỉnh liên tiếp của đa giác 12 cạnh $\Rightarrow$ Có 12 cách.
* TH2: Chọn ra tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác đã cho $\Leftrightarrow$ Chọn ra 1 cạnh và 1 đỉnh không liền với 2 đỉnh của cạnh đó $\Rightarrow$ Có 12 cách chọn 1 cạnh và $C_{8}^{1}=8$ cách chọn đỉnh. $\Rightarrow$ Có $12\cdot8$ cách.
$\Rightarrow$ Số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là: $n(\overline{A})=12+12\cdot8$
$\Rightarrow$ Số phần tử của biến cố $A$ là: $n(A)=C_{12}^{3}-12-12\cdot8$
$\Rightarrow$ Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}=\frac{C_{12}^{3}-12-12\cdot8}{C_{12}^{3}}$.