Bài tự luận · Bài 33
Bài tự luận Ôn tập Lôgarit 11 · Bài 33
Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn $100$ của bất phương trình $\log_{2}\left( 3x^{2} +2x+1 \right)+\log_{ 3x^{2} +2x+1 } 2\geq 2$.
Xem lời giải
Lời giải
Phần giải chi tiết
Điều kiện $3x^2+2x+1>0$ và $3x^2+2x+1\ne1$, tương đương $x\ne-\dfrac23$ và $x\ne0$.
$\log_2(3x^2+2x+1)+\log_{3x^2+2x+1}2\geq2$
$\Leftrightarrow \log_2(3x^2+2x+1)+\dfrac1{\log_2(3x^2+2x+1)}\geq2$.
Đặt $t=\log_2(3x^2+2x+1)$, $t\ne0$. Ta có
$t+\dfrac1t\geq2\Leftrightarrow\dfrac{(t-1)^2}{t}\geq0\Leftrightarrow t>0$.
Suy ra $3x^2+2x+1>1\Leftrightarrow x>0$ hoặc $x<-\dfrac23$.
Với $x$ nguyên dương nhỏ hơn 100, ta có $x\in\{1,2,3,\ldots,99\}$. Vậy $S=1+2+\cdots+99=4950$.
Điều kiện $3x^2+2x+1>0$ và $3x^2+2x+1\ne1$, tương đương $x\ne-\dfrac23$ và $x\ne0$.
$\log_2(3x^2+2x+1)+\log_{3x^2+2x+1}2\geq2$
$\Leftrightarrow \log_2(3x^2+2x+1)+\dfrac1{\log_2(3x^2+2x+1)}\geq2$.
Đặt $t=\log_2(3x^2+2x+1)$, $t\ne0$. Ta có
$t+\dfrac1t\geq2\Leftrightarrow\dfrac{(t-1)^2}{t}\geq0\Leftrightarrow t>0$.
Suy ra $3x^2+2x+1>1\Leftrightarrow x>0$ hoặc $x<-\dfrac23$.
Với $x$ nguyên dương nhỏ hơn 100, ta có $x\in\{1,2,3,\ldots,99\}$. Vậy $S=1+2+\cdots+99=4950$.