Bài tự luận · Bài 32
Bài tự luận Ôn tập Lôgarit 11 · Bài 32
Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình mũ $\left( 2-\sqrt{2} \right)^{x} +21.\left( 2+\sqrt{2} \right)^{x} \leq 11.2^{x+1}$
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $a=\dfrac{2-\sqrt2}{2}$ và $b=\dfrac{2+\sqrt2}{2}$. Khi chia hai vế cho $2^x$, bất phương trình trở thành $a^x+21b^x\leq22$.
Vì $a^{-1}=2+\sqrt2$, nếu $x\leq-3$ thì $a^x\geq a^{-3}=(2+\sqrt2)^3>22$, nên không thỏa mãn. Nếu $x\geq1$ thì $21b^x\geq21b>22$, nên cũng không thỏa mãn.
Thử trực tiếp $x=-2,-1,0$ đều thỏa mãn bất phương trình. Vậy các nghiệm nguyên là $-2,-1,0$ và tổng bằng $S=-3$.
Vì $a^{-1}=2+\sqrt2$, nếu $x\leq-3$ thì $a^x\geq a^{-3}=(2+\sqrt2)^3>22$, nên không thỏa mãn. Nếu $x\geq1$ thì $21b^x\geq21b>22$, nên cũng không thỏa mãn.
Thử trực tiếp $x=-2,-1,0$ đều thỏa mãn bất phương trình. Vậy các nghiệm nguyên là $-2,-1,0$ và tổng bằng $S=-3$.