Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 17
Cho $f(1)=1;$ $f(m+n)=f(m)+f(n)+mn$ với mọi $m,n\in N^{*}$. Tính giá trị của biểu thức
$T=\log\left[ \frac{f\left( 2019 \right)-f\left( 2009 \right)-145}{2} \right]$
$T=\log\left[ \frac{f\left( 2019 \right)-f\left( 2009 \right)-145}{2} \right]$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f(2019)=f(2009+10)=f(2009)+f(10)+20090$
Do đó $f(2019)-f(2009)-145=f(10)+20090-145$
$\begin{array}{l} f(10)=f(9)+f(1)+9 \\ f(9)=f(8)+f(1)+8 \\ ................... \\ f(3)=f(2)+f(1)+2 \\ f(2)=f(1)+f(1)+1 \end{array}$
Từ đó cộng vế với vế ta được: $f(10)=10.f(1)+1+2+....+8+9=55.$
Vậy $\log\left[ \frac{f(2019)-f(2009)-145}{2} \right]=\log\frac{20090-145+55}{2}=\log 10000=4.$
Do đó $f(2019)-f(2009)-145=f(10)+20090-145$
$\begin{array}{l} f(10)=f(9)+f(1)+9 \\ f(9)=f(8)+f(1)+8 \\ ................... \\ f(3)=f(2)+f(1)+2 \\ f(2)=f(1)+f(1)+1 \end{array}$
Từ đó cộng vế với vế ta được: $f(10)=10.f(1)+1+2+....+8+9=55.$
Vậy $\log\left[ \frac{f(2019)-f(2009)-145}{2} \right]=\log\frac{20090-145+55}{2}=\log 10000=4.$