Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 28
Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai). Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: Tia sáng hướng tới tiêu điểm $F_{1}$ của hypebol $(H)$ khi gặp một nhánh của $(H)$ sẽ cho tia phản xạ đi qua $F_{2}$.
Một nhà nghiên cứu thiết kế một kính thiên văn vô tuyến chứa hai gương có mặt cắt hình parabol $(P)$ và hình một nhánh của hypebol $(H)$. Parabol $(P)$ có tiêu điểm $F_{1}$ và đỉnh $S$. Hypebol $(H)$ có đỉnh $A$, có chung một tiêu điểm là $F_{1}$ với $(P)$ và còn có tiêu điểm thứ hai $F_{2}$ (Hình 3).
Nguyên tắc hoạt động của kính thiên văn đó như sau: Tín hiệu đến từ vũ trụ được xem như song song với trục của parabol $(P)$, khi đến điểm $M$ của $(P)$ sẽ cho tia phản xạ theo hướng $MF_{1}$, tia này gặp $(H)$ tại điểm $N$ và cho tia phản xạ tới $F_{2}$ là nơi thu tín hiệu. Cho biết $SF_{1}=14\,\text{m},SF_{2}=2\,\text{m}$ và $AF_{1}=1\,\text{m}$. Hãy viết phương trình chính tắc của $(P)$ và $(H)$.
(Nguồn: https://sciencestruck.com/parabolic-mirror-working-principle-applications)
Xem lời giải
Lời giải
+) Gọi phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^{2}}{a^{2} }-\frac{y^{2}}{b^{2} }=1(a>0, b>0)$.
$F_{1}, F_{2}$ là hai tiêu điểm của $(H)$ nên $2c=F_{1}F_{2}=SF_{1}-SF_{2}=14-2=12$, suy ra $c=6$.
$AF_{2}=F_{1}F_{2}-AF_{1}=12-1=11$.
Vì A thuộc $(H)$ nên $2a=\left| AF_{1}-AF_{2}\right|=\mid 1-11\mid =10$, suy ra $a=5$, $\Rightarrow b^{2} =c^{2} -a^{2} =6^{2} -5^{2} =11.$
Vậy phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{11}=1$.
+) Gọi phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^{2} =2px(p>0)$.
S là đỉnh và $F_{1}$ là tiêu điểm của parabol nên $\frac{p}{2}=SF_{1}=14$, suy ra $p=28$.
Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^{2} =56x$.
