Hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G, G’. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=3\overrightarrow{GG'}$. Từ đó suy ra: “Điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$.”

Question

DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM Để chứng minh hai điểm $A_1$, $A_2$ trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1. Chứng minh $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{0}$ Cách 2. Chứng minh $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA_2}$ với $O$ là điểm tùy ý Để chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm ta làm như sau Cách 1. Chứng minh $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ trùng với $G’$ là trọng tâm $	riangle A'B'C'$ Cách 2. Gọi $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ (tức là có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$) ta đi chứng minh $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$ Hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G, G’. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=3\overrightarrow{GG'}$. Từ đó suy ra: “Điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$.”

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'A'}$ (1). $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'B'}$ (2). $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GG'}+\overrightarrow{G'C'}$ (3). Cộng vế với vế ta được $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG})+3\overrightarrow{GG'}+(\overrightarrow{G'A'}+\overrightarrow{G'B'}+\overrightarrow{G'C'})=3\overrightarrow{GG'}$. Vì $G$, $G'$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, $A'B'C'$ nên $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{0}\\overrightarrow{A'G'}+\overrightarrow{B'G'}+\overrightarrow{C'G'}=\overrightarrow{0}\end{array}ight.$. Từ đẳng thức trên ta thấy $G$ trùng $G'$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GG'}=\overrightarrow{0}$, tức là $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 40