Cho tam giác $ABC$. Gọi $A’$, $B’$, $C’$ là các điểm xác định bởi $2011\overrightarrow{A'B}+2012\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}$, $2011\overrightarrow{B'C}+2012\overrightarrow{B'A}=\overrightarrow{0}$; $2011\overrightarrow{C'A}+2012\overrightarrow{C'B}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm.

Question

DẠNG 5. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU, HAI TAM GIÁC CÓ CÙNG TRỌNG TÂM Để chứng minh hai điểm $A_1$, $A_2$ trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1. Chứng minh $\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{0}$ Cách 2. Chứng minh $\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA_2}$ với $O$ là điểm tùy ý Để chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm ta làm như sau Cách 1. Chứng minh $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ trùng với $G’$ là trọng tâm $	riangle A'B'C'$ Cách 2. Gọi $G$ là trọng tâm $	riangle ABC$ (tức là có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$) ta đi chứng minh $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$ Cho tam giác $ABC$. Gọi $A’$, $B’$, $C’$ là các điểm xác định bởi $2011\overrightarrow{A'B}+2012\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0}$, $2011\overrightarrow{B'C}+2012\overrightarrow{B'A}=\overrightarrow{0}$; $2011\overrightarrow{C'A}+2012\overrightarrow{C'B}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh hai tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ có cùng trọng tâm.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$. Ta có $2011\overrightarrow{A'B}+2012\overrightarrow{A'C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 2011\left(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AB}\right)+2012\left(\overrightarrow{A'A}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{0}$ $\Leftrightarrow 4023\overrightarrow{A'A}+2011\overrightarrow{AB}+2012\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$. Tương tự ta có $4023\overrightarrow{B'B}+2011\overrightarrow{BC}+2012\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}$. $4023\overrightarrow{C'C}+2011\overrightarrow{CA}+2012\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$. Cộng vế với vế lại ta được $4023\left(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}\right)+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{0}$. Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'} \Rightarrow \overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}=\overrightarrow{0}$. Do đó $G$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.

Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 39