Bài tự luận · Bài 22
Dạng 4. Vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn
Bài tự luận Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 22
(CD10) Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):(x+2)^2+(y-4)^2=25$ và điểm $A(-1;3)$.
a) Xác định vị trí tương đối của điểm $A$ đối với đường tròn $(C)$.
b) Đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $A$ cắt đường tròn tại $M$ và $N$. Viết phương trình đường thẳng $d$ sao cho $MN$ ngắn nhất.
a) Xác định vị trí tương đối của điểm $A$ đối với đường tròn $(C)$.
b) Đường thẳng $d$ thay đổi đi qua $A$ cắt đường tròn tại $M$ và $N$. Viết phương trình đường thẳng $d$ sao cho $MN$ ngắn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
a) $(C)$ có tâm $I(-2;4)$ bán kính $R=5$.
Vì $IA=\sqrt{[-1-(-2)]^2+(3-4)^2}=\sqrt{2}<5$ nên $A$ nằm trong đường tròn $(C)$.
b) Ta có dây cung $MN$ ngắn nhất khi khoảng cách giữa $I$ đến $MN$ lớn nhất. Vì $d$ đi qua $A$ cố định nên khoảng cách từ $I$ đến $d$ lớn nhất bằng $IA$, hay $IA$ vuông góc với $d$. Suy ra phương trình đường thẳng $d$ là: $x-y+4=0$.
Vì $IA=\sqrt{[-1-(-2)]^2+(3-4)^2}=\sqrt{2}<5$ nên $A$ nằm trong đường tròn $(C)$.
b) Ta có dây cung $MN$ ngắn nhất khi khoảng cách giữa $I$ đến $MN$ lớn nhất. Vì $d$ đi qua $A$ cố định nên khoảng cách từ $I$ đến $d$ lớn nhất bằng $IA$, hay $IA$ vuông góc với $d$. Suy ra phương trình đường thẳng $d$ là: $x-y+4=0$.