Bài tập nâng cao · Bài 17
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 17
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $4$ chữ số được lập từ tập hợp $X=\left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \end{array} \right\}$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$. Tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho $6$.
Xem lời giải
Lời giải
Số các số có các số tự nhiên có $4$ chữ số được lập từ tập hợp $X=\left\{ \begin{array}{l} 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \end{array} \right\}$ là: $9 ^{4}$ số. $n\left( { \Omega } \right)=9 ^{4}$. $A$ là biến cố: “Số được chọn chia hết cho $6$ ”.
Gọi $x=abcd$ là số chia hết cho $6$. Ta có $d\in \left\{ \begin{array}{l} 2;4;6;8 \end{array} \right\}$ và $\left( { a+b+c+d } \right)\vdots 3$. $d$ có $4$ cách chọn. $c$ có $9$ cách chọn. $b$ có $9$ cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn trên của $d,b,c$ ta xét các tình huống sau:
Tình huống 1: $\left( { b+c+d } \right)\vdots 3\Rightarrow a\vdots 3$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $a$.
Tình huống 2: $\left( { b+c+d } \right)$ chia $3$ dư $1$ $\Rightarrow$ $a$ chia $3$ dư $2$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $a$.
Tình huống 3: $\left( { b+c+d } \right)$ chia $3$ dư $2$ $\Rightarrow$ $a$ chia $3$ dư $1$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $a$.
Như vậy cả 3 tình huống đều có chung kết quả là ứng với ứng với mỗi cách chọn trên của $d,b,c$ cho ta 3 cách chọn $a$. $n\left( { A } \right)=4.9.9.3=972$. $P\left( { A } \right)=\frac { 972 } { 9 ^{4} }=\frac{4}{27}$.
Gọi $x=abcd$ là số chia hết cho $6$. Ta có $d\in \left\{ \begin{array}{l} 2;4;6;8 \end{array} \right\}$ và $\left( { a+b+c+d } \right)\vdots 3$. $d$ có $4$ cách chọn. $c$ có $9$ cách chọn. $b$ có $9$ cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn trên của $d,b,c$ ta xét các tình huống sau:
Tình huống 1: $\left( { b+c+d } \right)\vdots 3\Rightarrow a\vdots 3$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $a$.
Tình huống 2: $\left( { b+c+d } \right)$ chia $3$ dư $1$ $\Rightarrow$ $a$ chia $3$ dư $2$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $a$.
Tình huống 3: $\left( { b+c+d } \right)$ chia $3$ dư $2$ $\Rightarrow$ $a$ chia $3$ dư $1$ $\Rightarrow$ có $3$ cách chọn $a$.
Như vậy cả 3 tình huống đều có chung kết quả là ứng với ứng với mỗi cách chọn trên của $d,b,c$ cho ta 3 cách chọn $a$. $n\left( { A } \right)=4.9.9.3=972$. $P\left( { A } \right)=\frac { 972 } { 9 ^{4} }=\frac{4}{27}$.