Bài tập nâng cao · Bài 8
Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 8
Lấy ngẫu nhiên một số có 5 chữ số. Tính xác suất để chọn được số có dạng $abcde$ thỏa mãn $a\leq b\leq c\leq d\leq e$ hoặc $a\geq b\geq c\geq d\geq e$.
Xem lời giải
Lời giải
Chọn số tự nhiên có 5 chữ số có 90000 cách.
Xét các số có dạng $abcde$ thỏa mãn $a\leq b\leq c\leq d\leq e$ hoặc $a\geq b\geq c\geq d\geq e$:
TH1: Ta có $1\leq a\leq b\leq c\leq d\leq e\leq 9\Leftrightarrow 1\leq a < b+1 < c+2 < d+3 < e+4\leq 13$
Suy ra có $C_{13}^{5}$ số thỏa mãn 5 chữ số $abcde$ thỏa mãn $a\leq b\leq c\leq d\leq e$.
TH2: Ta có $9\geq a\geq b\geq c\geq d\geq e\geq 0\Leftrightarrow 13\geq a+4>b+3>c+2>d+1>e\geq 0$ mà $a\neq 0$
Suy ra có $C_{14}^{5}-1$ số thỏa mãn 5 chữ số $abcde$ thỏa mãn $a\geq b\geq c\geq d\geq e$.
Mặt khác có 9 số thỏa mãn cả 2 trường hợp trên (khi $a=b=c=d=e$).
Do đó có $C_{13}^{5}+C_{14}^{5}-1-9=3279$
Xác suất thỏa mãn là $\frac{3279}{90000}=\frac{1093}{30000}$
Xét các số có dạng $abcde$ thỏa mãn $a\leq b\leq c\leq d\leq e$ hoặc $a\geq b\geq c\geq d\geq e$:
TH1: Ta có $1\leq a\leq b\leq c\leq d\leq e\leq 9\Leftrightarrow 1\leq a < b+1 < c+2 < d+3 < e+4\leq 13$
Suy ra có $C_{13}^{5}$ số thỏa mãn 5 chữ số $abcde$ thỏa mãn $a\leq b\leq c\leq d\leq e$.
TH2: Ta có $9\geq a\geq b\geq c\geq d\geq e\geq 0\Leftrightarrow 13\geq a+4>b+3>c+2>d+1>e\geq 0$ mà $a\neq 0$
Suy ra có $C_{14}^{5}-1$ số thỏa mãn 5 chữ số $abcde$ thỏa mãn $a\geq b\geq c\geq d\geq e$.
Mặt khác có 9 số thỏa mãn cả 2 trường hợp trên (khi $a=b=c=d=e$).
Do đó có $C_{13}^{5}+C_{14}^{5}-1-9=3279$
Xác suất thỏa mãn là $\frac{3279}{90000}=\frac{1093}{30000}$