Vị trí của một chất điểm $M$ tại thời điểm $t$ ($t$ trong khoảng thời gian từ $0$ phút đến $180$ phút) có tọa độ là $(3 + 5\sin t^\circ; 4 + 5\cos t^\circ)$. Khoảng cách xa nhất từ điểm $M$ tới gốc tọa độ bằng bao nhiêu?

Lời giải Tọa độ của chất điểm $M$ thỏa mãn hệ thức: $\left\{\begin{array}{l} x = 3 + 5\sin t^\circ \\\\ y = 4 + 5\cos t^\circ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x - 3 = 5\sin t^\circ \\\\ y - 4 = 5\cos t^\circ \end{array}\right.$ Bình phương hai vế và cộng lại ta được: $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25(\sin^2 t^\circ + \cos^2 t^\circ) = 25$ Do đó, chất điểm $M$ luôn di chuyển trên đường tròn $(C)$ có tâm $I(3; 4)$ và bán kính $R = 5$. Nhận thấy gốc tọa độ $O(0; 0)$ có tọa độ thỏa mãn: $(0 - 3)^2 + (0 - 4)^2 = 25$, suy ra gốc tọa độ $O$ nằm trên đường tròn $(C)$. Khoảng cách từ $M$ đến gốc tọa độ $O$ là độ dài đoạn thẳng $OM$. Vì $M$ và $O$ đều thuộc đường tròn $(C)$ nên độ dài đoạn thẳng $OM$ lớn nhất khi và chỉ khi $OM$ là đường kính của đường tròn $(C)$. Khi đó, khoảng cách xa nhất là: $OM_{\max} = 2R = 10$. Dấu bằng xảy ra khi $I(3; 4)$ là trung điểm của $OM$, tức là: $\left\{\begin{array}{l} x_M = 2x_I - x_O = 6 \\\\ y_M = 2y_I - y_O = 8 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3 + 5\sin t^\circ = 6 \\\\ 4 + 5\cos t^\circ = 8 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} \sin t^\circ = \frac{3}{5} \\\\ \cos t^\circ = \frac{4}{5} \end{array}\right.$ Vì $\sin t^\circ > 0$ và $\cos t^\circ > 0$ nên tồn tại góc $t \in (0; 90) \subset (0; 180)$ thỏa mãn hệ phương trình. Vậy khoảng cách xa nhất từ điểm $M$ tới gốc tọa độ bằng $10$.