Bài tự luận · Bài 14
Dạng 3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Bài tự luận Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 14
(CD10) Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C):(x-1)^2+(y+2)^2=25$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\Delta$ tiếp xúc $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng $-2$;
b) $\Delta$ song song với đường thẳng $12x+5y+63=0$;
c) $\Delta$ đi qua điểm $A(6;-1)$.
a) $\Delta$ tiếp xúc $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng $-2$;
b) $\Delta$ song song với đường thẳng $12x+5y+63=0$;
c) $\Delta$ đi qua điểm $A(6;-1)$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường tròn $(C)$ có tâm $I(1;-2)$ bán kính $R=5$.
a) Giả sử tiếp điểm là $M_0(-2;y_0)$. Vì $M_0$ thuộc đường tròn $(C)$ nên ta có: $(-2-1)^2+(y_0+2)^2=25\Leftrightarrow y_0^2+4y_0-12=0$.
Giải phương trình trên ta có: $y_0=2$ hoặc $y_0=-6$.
Trường hợp 1: $y_0=2$.
Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là: $(-2-1)[x-(-2)]+[2-(-2)](y-2)=0\Leftrightarrow -3x+4y-14=0$.
Trường hợp 2: $y_0=-6$.
Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là: $(-2-1)[x-(-2)]+[-6-(-2)][y-(-6)]=0\Leftrightarrow -3x-4y-30=0$.
b) $\Delta$ song song với đường thẳng có phương trình $12x+5y+63=0$ nên $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $n=(12;5)$.
Suy ra phương trình của đường thẳng $\Delta$ có dạng $12x+5y+m=0$ với $m\neq63$.
Vì $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$ nên $d(I,\Delta)=R\Leftrightarrow \frac{|12\cdot1+5\cdot(-2)+m|}{\sqrt{12^2+5^2}}=5\Leftrightarrow |m+2|=65$.
Giải phương trình trên ta có $m=-67$ hoặc $m=63$ (loại vì $m\neq63$).
Vậy phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là: $12x+5y-67=0$.
c) Ta xét hai khả năng:
Khả năng 1: Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với trục $Ox$. Vì $\Delta$ đi qua điểm $A(6;-1)$ và vuông góc với trục $Ox$ nên có phương trình là: $x=6$ hay $x-6=0$.
Khoảng cách từ tâm $I(1;-2)$ đến đường thẳng $\Delta$ là: $d(I,\Delta)=\frac{|1-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5=R$.
Suy ra đường thẳng $x-6=0$ là một tiếp tuyến của đường tròn.
Khả năng 2: Đường thẳng $\Delta$ không vuông góc với trục $Ox$. Khi đó, ta có thể xét dạng phương trình của $\Delta$ là: $y=ax+b$ với $a,b$ là tham số. Vì $\Delta$ đi qua điểm $A(6;-1)$ nên $-1=6a+b$ hay $b=-6a-1$.
Như vậy, phương trình $\Delta$ là: $y=ax-6a-1$ hay $ax-y-6a-1=0$.
Vì $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$ nên $d(I,\Delta)=R\Leftrightarrow \frac{|a\cdot1-(-2)-6a-1|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=5\Leftrightarrow |-5a+1|=5\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow a=-\frac{12}{5}$.
Suy ra phương trình $\Delta$ là: $-\frac{12}{5}x-y+\frac{67}{5}=0\Leftrightarrow 12x+5y-67=0$.
Vậy phương trình tiếp tuyến $\Delta$ có hai khả năng là: $x-6=0$ và $12x+5y-67=0$.
a) Giả sử tiếp điểm là $M_0(-2;y_0)$. Vì $M_0$ thuộc đường tròn $(C)$ nên ta có: $(-2-1)^2+(y_0+2)^2=25\Leftrightarrow y_0^2+4y_0-12=0$.
Giải phương trình trên ta có: $y_0=2$ hoặc $y_0=-6$.
Trường hợp 1: $y_0=2$.
Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là: $(-2-1)[x-(-2)]+[2-(-2)](y-2)=0\Leftrightarrow -3x+4y-14=0$.
Trường hợp 2: $y_0=-6$.
Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là: $(-2-1)[x-(-2)]+[-6-(-2)][y-(-6)]=0\Leftrightarrow -3x-4y-30=0$.
b) $\Delta$ song song với đường thẳng có phương trình $12x+5y+63=0$ nên $\Delta$ có một vectơ pháp tuyến là $n=(12;5)$.
Suy ra phương trình của đường thẳng $\Delta$ có dạng $12x+5y+m=0$ với $m\neq63$.
Vì $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$ nên $d(I,\Delta)=R\Leftrightarrow \frac{|12\cdot1+5\cdot(-2)+m|}{\sqrt{12^2+5^2}}=5\Leftrightarrow |m+2|=65$.
Giải phương trình trên ta có $m=-67$ hoặc $m=63$ (loại vì $m\neq63$).
Vậy phương trình tiếp tuyến $\Delta$ là: $12x+5y-67=0$.
c) Ta xét hai khả năng:
Khả năng 1: Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với trục $Ox$. Vì $\Delta$ đi qua điểm $A(6;-1)$ và vuông góc với trục $Ox$ nên có phương trình là: $x=6$ hay $x-6=0$.
Khoảng cách từ tâm $I(1;-2)$ đến đường thẳng $\Delta$ là: $d(I,\Delta)=\frac{|1-6|}{\sqrt{1^2+0^2}}=5=R$.
Suy ra đường thẳng $x-6=0$ là một tiếp tuyến của đường tròn.
Khả năng 2: Đường thẳng $\Delta$ không vuông góc với trục $Ox$. Khi đó, ta có thể xét dạng phương trình của $\Delta$ là: $y=ax+b$ với $a,b$ là tham số. Vì $\Delta$ đi qua điểm $A(6;-1)$ nên $-1=6a+b$ hay $b=-6a-1$.
Như vậy, phương trình $\Delta$ là: $y=ax-6a-1$ hay $ax-y-6a-1=0$.
Vì $\Delta$ tiếp xúc với $(C)$ nên $d(I,\Delta)=R\Leftrightarrow \frac{|a\cdot1-(-2)-6a-1|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}}=5\Leftrightarrow |-5a+1|=5\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow a=-\frac{12}{5}$.
Suy ra phương trình $\Delta$ là: $-\frac{12}{5}x-y+\frac{67}{5}=0\Leftrightarrow 12x+5y-67=0$.
Vậy phương trình tiếp tuyến $\Delta$ có hai khả năng là: $x-6=0$ và $12x+5y-67=0$.