Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có $I, K, G$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC, A'B'C', ACC'$. Gọi $M, M'$ lần lượt là trung điểm của $BC, B'C'$. Khi đó:

a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải Gọi $M, M'$ lần lượt là trung điểm của $BC, B'C'$. Khi đó $MM'$ là đường trung bình của hình bình hành $BCC'B'$. a) Sai. Vì $I, K$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC, A'B'C'$ nên: $$ IM = \frac{1}{3}AM, \quad KM' = \frac{1}{3}A'M' $$ Mà $AM \parallel A'M'$ và $AM = A'M'$ nên $IM \parallel KM'$ và $IM = KM'$. Do đó $IKM'M$ là hình bình hành. Suy ra $IK \parallel MM'$, mà $MM' \subset (BCC'B') \Rightarrow IK \parallel (BCC'B') \quad (1)$. b) Đúng. Gọi $N$ là trung điểm của $CC'$. Xét tam giác $AMN$ có $I$ là trọng tâm $\Delta ABC$ và $G$ là trọng tâm $\Delta ACC'$ nên: $$ \frac{AI}{AM} = \frac{AG}{AN} = \frac{2}{3} $$ c) Đúng. Theo định lý Talet đảo trong tam giác $AMN$, ta có $IG \parallel MN$. Mà $MN \subset (BCC'B') \Rightarrow IG \parallel (BCC'B') \quad (2)$. Từ (1) và (2) suy ra $(IKG) \parallel (BCC'B')$. d) Sai. Ta thấy $(A'KG) \equiv (A'M'C)$ và $(AIB') \equiv (AMB')$. Vì $AMM'A'$ là hình bình hành nên $AM \parallel A'M' \Rightarrow AM \parallel (A'M'C) \quad (3)$. Mặt khác, tư giác $CMB'M'$ là hình bình hành (do $CM \parallel B'M'$ và $CM = B'M'$) nên $B'M \parallel CM'$. Mà $CM' \subset (A'M'C) \Rightarrow B'M \parallel (A'M'C) \quad (4)$. Từ (3) và (4) suy ra $(AMB') \parallel (A'M'C)$, hay $(AIB') \parallel (A'KG)$.