Trắc nghiệm · Câu 25
Cho mệnh đề $P: "\forall x \in \mathbb{R}: x^2 + x + 1 \neq 0"$. Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$ và tính đúng, sai của nó là:
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R}: x^2 + x + 1 = 0"$ và là mệnh đề sai.
Lời giải
Để tìm mệnh đề phủ định của một mệnh đề chứa lượng từ, ta thực hiện hai bước đổi hướng:
1. Phủ định của lượng từ "Với mọi" ($\forall$) là lượng từ "Tồn tại" ($\exists$).
2. Phủ định của mệnh đề chứa dấu khác "$\neq$" là mệnh đề chứa dấu bằng "=".
Do đó, mệnh đề phủ định của $P$ là:
$\overline{P}: "\exists x \in \mathbb{R}: x^2 + x + 1 = 0"$.
Xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định $\overline{P}$:
Phương trình bậc hai $x^2 + x + 1 = 0$ có các hệ số $a = 1, b = 1, c = 1$.
Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.
Vì $\Delta < 0$ nên phương trình $x^2 + x + 1 = 0$ vô nghiệm trên tập hợp số thực $\mathbb{R}$.
Do không tồn tại số thực $x$ nào thỏa mãn phương trình, mệnh đề phủ định $\overline{P}$ là một mệnh đề sai.
Vậy ta chọn phương án A.