Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh bằng $ 10 $. Cạnh bên $ SA $vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ và $ SC=10\sqrt { 5 } $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ CD $. Tính khoảng cách $ d $ giữa $ BD $ và $ MN $ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD34. ON TAP HHKG QUAN HE VUONG GOC 11/B. TU LUAN/image1026.png] Gọi $ P $ là trung điểm của $ BC $$ \Rightarrow BD\,{ m{ / } }{ m{ / } }\,NP $$ \Rightarrow BD\,\,{ m{ / } }{ m{ / } }\,\,\left ( { MNP } ight ) $ $ \Rightarrow d\left ( { BD,MN } ight )=d\left ( { BD,\left ( { MNP } ight ) } ight ) $$ =d\left ( { D,\left ( { MNP } ight ) } ight ) $$ =d\left ( { C,\left ( { MNP } ight ) } ight ) $$ =\frac { 1 } { 3 }d\left ( { A,\left ( { MNP } ight ) } ight ) $. Gọi $ I=AC\cap NP $. Kẻ $ AH\perp MI $ tại $ H $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} NP\perp SA \ NP\perp AC \end{array} ight.\Rightarrow NP\perp\left ( { SAC } ight ) $$ \Rightarrow NP\perp AH $. $ \left \{ \begin{array}{l} AH\perp MI \ AH\perp NP \end{array} ight.\Rightarrow AH\perp\left ( { MNP } ight ) $$ \Rightarrow d\left ( { A,\left ( { MNP } ight ) } ight )=AH $. Ta có $ SA ^ { 2 } =SC ^ { 2 } -AC ^ { 2 } $$ =\left ( { 10\sqrt { 5 } } ight ) ^ { 2 } -\left ( { 10\sqrt { 2 } } ight ) ^ { 2 } $$ =300 $. Suy ra $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AI ^ { 2 } } $$ =\frac { 1 } { \left ( { \frac { SA } { 2 } } ight ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { 3AC } { 4 } } ight ) ^ { 2 } } $$ =\frac { 4 } { 300 }+\frac { 16 } { 1800 } $$ =\frac { 20 } { 900 } $. $ \Rightarrow AH=3\sqrt { 5 } $. Vậy $ d\left ( { BD,MN } ight )=\frac { 1 } { 3 }AH=\sqrt { 5 }\approx 2,24 $.

Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 40