Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 39
Bạn Nam làm một cái máng thoát nước mưa, mặt cắt là hình thang cân có độ dài hai cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $ 20\,\,{ \rm{ c } }{ \rm{ m } } $, thành máng nghiêng với mặt đáy một góc $ φ $ $ \left ( { 0° < φ < 90° } \right ) $ (tham khảo hình vẽ). Bạn Nam phải nghiêng thành máng một góc bao nhiêu để lượng nước mưa thoát được là nhiều nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Lượng nước mưa thoát được nhiều nhất khi diện tích hình thang cân $ ABCD $ lớn nhất.
Khi đó ta có: $ HK=AB=20{ \rm{ c } }{ \rm{ m } } $, $ DH=CK=\cosφ.20 $, $ AH=BK=\sinφ.20 $.
Do đó: $ S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 2 }\left ( { AB+CD } \right ).AH $$ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 20+20+2.20.\cosφ } \right ).20.\sinφ $$ =400.\left ( { 1+\cosφ } \right ).\sinφ $
Đặt $ t=\cosφ $, vì $ 0° < φ < 90° $$ \Rightarrow \cosφ>0,\,\,\sinφ>0 $.
$ \Rightarrow S=400\left ( { 1+t } \right )\sqrt { 1-t ^ { 2 } } $.
$ \Rightarrow S=400\sqrt { \frac { 1 } { 3 }.\left ( { 1+t } \right ) ^ { 3 } \left ( { 3-3t } \right ) }\leq 400.\sqrt { \frac { 1 } { 3 }.\left ( { \frac { 1+t+1+t+1+t+3-3t } { 4 } } \right ) ^ { 4 } }=300\sqrt { 3 } $.
Dấu bằng xảy ra khi $ 1+t=3-3t $$ \Leftrightarrow t=\frac { 1 } { 2 } $$ \Rightarrow \cosφ=\frac { 1 } { 2 }\Leftrightarrow φ=60° $.
