Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 38

Gọi $ O=AC\cap BD $, $ O'=A'C'\cap B'D' $ và $ E=MN\cap A'C' $.
Vì $ MN $ là đường trung bình trong $ \Delta A'B'D' $nên $ E $là trung điểm $ O'A' $.
Vẽ $ EF\perp AC $ ($ F\in AC $), suy ra $ EF\perp\left ( { ABCD } \right ) $, vì $ EF\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,AA'\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,OO' $ nên $ F $là trung điểm $ OA $ và $ EF=AA'=\frac { a\sqrt { 3 } } { 2 } $.
Tỉ số $ \frac { d\left ( { A,\left ( { BDMN } \right ) } \right ) } { d\left ( { F,\left ( { BDMN } \right ) } \right ) }=\frac { AO } { FO }=2 $$ \Rightarrow d\left ( { A,\left ( { BDMN } \right ) } \right )=2.d\left ( { F,\left ( { BDMN } \right ) } \right ) $.
Vẽ $ FH\perp EO $, nên $ FH\perp BD $, suy ra $ FH\perp\left ( { BDMN } \right ) $, do đó $ d\left ( { F,\left ( { BDMN } \right ) } \right )=FH $.
Dễ thấy $ \Delta ABD $ đều cạnh $ a $$ \Rightarrow FO=\frac { 1 } { 2 }AO=\frac { 1 } { 2 }.\frac { a\sqrt { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt { 3 } } { 4 } $.
$ \Delta EFO $ vuông tại $ F $có $ FH $là đường cao ứng với cạnh huyền nên
$ \frac { 1 } { FH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { EF ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OF ^ { 2 } } $$ =\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt { 3 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 20 } { 3a ^ { 2 } } $$ \Rightarrow FH ^ { 2 } =\frac { 3a ^ { 2 } } { 20 } $$ \Rightarrow FH=\frac { a\sqrt { 15 } } { 10 } $.
Vậy $ d\left ( { F,\left ( { BDMN } \right ) } \right )=FH=\frac { a\sqrt { 15 } } { 10 } $ nên $ d\left ( { A,\left ( { BDMN } \right ) } \right )=2.\frac { a\sqrt { 15 } } { 10 }=\frac { a\sqrt { 15 } } { 5 } $.\nVậy $ m=15 $.