Bài tập nâng cao · Bài 38
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 38
Trong không gian ${ \rm{ O } }xyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z+9=0$ và điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có véc tơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u }=\left( 3;4;-4 \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại $B$. Điểm $M$ thay đổi trên $\left( P \right)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới một góc $90°$. Độ dài đoạn $MB$ lớn nhất bằng
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2+4t \\ z=-3-4t \end{array} \right.$ nên tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2+4t \\ z=-3-4t \\ 2x+2y-z+9=0 \end{array} \right.\Rightarrow 2\left( 1+3t \right)+2\left( 2+4t \right)-\left( -3-4t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right)$.
Do $M$ nhìn đoạn $AB$ dưới một góc $90°$ nên $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $AB=\sqrt{41}$. Lại do $M\in \left( P \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
Do $MB$ là một dây cung của đường tròn này nên $MB$ lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi $I\left( -\frac{1}{2};0;-1 \right)$ là trung điểm $AB$ thì $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ và $d\left ( { I;\left( P \right) } \right )=3$. Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến là
$r=\sqrt{\left( \frac{AB}{2} \right)^{2} -d^{2} \left ( { I;\left( P \right) } \right ) }=\sqrt{\frac{41}{4}-9 }=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Vậy $MB_{max}=2r=\sqrt{5}.$
$\left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2+4t \\ z=-3-4t \\ 2x+2y-z+9=0 \end{array} \right.\Rightarrow 2\left( 1+3t \right)+2\left( 2+4t \right)-\left( -3-4t \right)+9=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow B\left( -2;-2;1 \right)$.
Do $M$ nhìn đoạn $AB$ dưới một góc $90°$ nên $M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính $AB=\sqrt{41}$. Lại do $M\in \left( P \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.
Do $MB$ là một dây cung của đường tròn này nên $MB$ lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi $I\left( -\frac{1}{2};0;-1 \right)$ là trung điểm $AB$ thì $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ và $d\left ( { I;\left( P \right) } \right )=3$. Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến là
$r=\sqrt{\left( \frac{AB}{2} \right)^{2} -d^{2} \left ( { I;\left( P \right) } \right ) }=\sqrt{\frac{41}{4}-9 }=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Vậy $MB_{max}=2r=\sqrt{5}.$