Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 37

- Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u }=\left( 3;\,\,4;\,\,-4 \right)$ có phương trình là:
$\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z+3}{-4}$$\Rightarrow$ giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$ là $B=\left( -2;-2;1 \right)$.
- Do $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới góc $90°$ nên $M$ nằm trên mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$.
Gọi $E$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow E=\left( -\frac{1}{2};0;-1 \right)$$\Rightarrow AE^{2} =\frac{41}{4}$
$\Rightarrow \left( S \right):x^{2} +y^{2} +z^{2} +x+2z-9=0$.
- Lại do $M\in \left( P \right)$ nên $M$ nằm trên đường tròn giao tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$, gọi là đường tròn $\left( C \right)$.
- Mặt khác $B$ là điểm cố định trên đường tròn $\left( C \right)$ nên độ dài $MB$ lớn nhất khi $MB$ là đường kính của đường tròn $\left( C \right)$.
- Gọi $F$ là tâm của $\left( C \right)$$\Rightarrow F$ là hình chiếu vuông góc của $E$ trên $\left( P \right)$.
Đường thẳng $EF$ nhận vectơ pháp tuyến $\overset\rightarrow { n }=\left( 2;2;-1 \right)$ của $\left( P \right)$ làm vectơ chỉ phương
$\Rightarrow EF:\frac{x+\frac { 1}{2} } { 2 }=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$$\Rightarrow F=\left( -\frac{5}{2};-2;0 \right)$ (là giao điểm của $\left( P \right)$ và $EF$).
- Vì $MB$ là đường kính của $\left( C \right)$ nên $M=\left( -3;-2;-1 \right)$$\Rightarrow \overset\rightarrow { MB }=\left( 1;0;2 \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $MB$$\Rightarrow$ phương trình đường thẳng $MB$ là:
$\left\{ \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=-2 \\ z=1+2t \end{array} \right.$ $\left( t\in \mathbb{R} \right)$
- Trong các điểm đã cho ở các đáp án A, B, C, D chỉ có điểm $I\left( -1;-2;3 \right)$ (đáp án D) thuộc đường thẳng $MB$.