Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 36

Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( 1;\,\,-1;\,\,3 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{1}}=\left( 2;\,\,-1;\,\,1 \right)$.
Nhận xét rằng, $A\notin d$ và $d∩\left( P \right)=I\left( -7;\,\,3;\,\,-1 \right)$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta$. Khi đó $d\left( \Delta ,d \right)=d\left ( { \Delta ,\left( Q \right) } \right )=d\left ( { A,\left( Q \right) } \right )$.
Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( Q \right)$ và $d$. Ta có $AH\leq AK$.
Do đó, $d\left( \Delta ,d \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow$ $d\left ( { A,\left( Q \right) } \right )$ lớn nhất $\Leftrightarrow AH_{max}$ $\Leftrightarrow H≡K$. Suy ra $AH$ chính là đoạn vuông góc chung của $d$ và $\Delta .$
Mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $A$ và $d$ có véc tơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n_{ \left( R \right) } }=\left[ \overset\rightarrow { AM },\overset\rightarrow { u_{1}} \right]$$=\left( -2;\,\,4;\,\,8 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( R \right)$ nên có véc tơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n_{ \left( Q \right) } }=\left[ \overset\rightarrow { n_{ \left( R \right) } },\overset\rightarrow { u_{1}} \right]$$=\left( 12;\,\,18;\,\,-6 \right)$.
Đường thẳng $\Delta$ chứa trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên có véc tơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { u }=\left[ \overset\rightarrow { n_{ \left( P \right) } },\overset\rightarrow { n_{ \left( Q \right) } } \right]$$=\left( 66;\,\,-42;\,\,6 \right)$$=6\left( 11;\,\,-7;\,\,1 \right)$.
Suy ra, $a=11;\,\,b=-7$. Vậy $a+2b=-3$.