Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 35

Gọi mặt phẳng $\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó phương trình của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $1\left( x+3 \right)-2\left( y-0 \right)+2\left( z-1 \right)=0$$\Leftrightarrow x-2y+2z+1=0$.
Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $B$ lên mặt phẳng $\left( Q \right)$, khi đó đường thẳng $BH$ đi qua $B\left( 1;\,-1;\,3 \right)$ và nhận $n_{ \left( Q \right) } =\left( 1;\,-2;\,2 \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-1-2t \\ z=3+2t \end{array} \right.$.
Vì $H=BH∩\left( Q \right)$$\Rightarrow H\in BH$$\Rightarrow H\left( 1+t;\,-1-2t;\,3+2t \right)$ và $H\in \left( Q \right)$ nên ta có $\left( 1+t \right)-2\left( -1-2t \right)+2\left( 3+2t \right)+1=0$$\Leftrightarrow t=-\frac{10}{9}$$\Rightarrow H\left( -\frac{1}{9};\,\frac{11}{9};\,\frac{7}{9} \right)$.
$\Rightarrow \overset\rightarrow { AH }=\left( \frac{26}{9};\,\frac{11}{9};\,\frac{-2}{9} \right)$$=\frac{1}{9}\left( 26;\,11;\,-2 \right)$.
Gọi $K$ là hình chiếu của $B$ lên đường thẳng $d$, khi đó
Ta có $d\left( B;\,d \right)=BK\geq BH$ nên khoảng cách từ $B$ đến $d$ nhỏ nhất khi $BK=BH$, do đó đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $u=\left( 26;\,11;\,-2 \right)$ có phương trình chính tắc: $d:\frac{x+3}{26}=\frac{y}{11}=\frac{z-1}{-2}$.